2026 年天津市河东区二模第 25 题（二次函数综合）

第 25 题（2026 天津市河东区二模）二次函数综合：顶点、反射最短路与 HF 最小值反求 a。

（25）（本小题 10 分）如图，抛物线 y＝ax²＋bx＋c（a，b，c 为常数，a≠0）的顶点为 P，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。

（Ⅰ）若 a＝−1。

① 当 b＝4，c＝−3 时，求点 P 的坐标；P(2,1)

② 点 A(−2,0)，C(0,2)，点 D 在抛物线上，∠CAD＝90°，点 G 在 AD 上，当 △BCG 的周长最小时，求出点 G 的坐标；G(−8/7, −6/7)

（Ⅱ）a＞0，点 O 为原点，OB＝OC，点 E 在线段 BC 上，BC＝4BE，点 F 在抛物线上，OE⊥OF，且 OE＝OF，又点 H 是第四象限的一动点，满足 ∠OHB＝90°，连接 HF，当 HF 的最小值为 3√2−2 时，求 a 的值。a＝2/5 或 a＝2(√10−2)/(3√2−2)

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