数学说

本周主题

集合 20道错题

进入集合题库 →
集合的概念和表示 集合的关系和运算 充分条件与必要条件
特训一

集合的概念

9．若集合 A={x｜kx2+4x+4=0} 中有 2 个元素，则实数 k 的取值范围为______。

01 原解题步骤和答案
集合 A 中有 2 个元素
方程有两个不等实根
Δ=42−4·k·4>0
原答案 k<1
02 正确解题步骤和答案
题意转换 方程有两个不同的实根
原解缺失 · 先看最高次项系数 k 是否为 0？
k=0退化为一次方程

4x+4=0

x=−1，A={−1}

−1O xy y=4x+4
只有 1 个元素，不符合题意
k≠0仍是一元二次方程

Δ=42−4·k·4>0

16−16k>0，即 k<1

Oxy 示例：k=½

图以 k=½ 为例；根的个数仍需由 Δ 判断。

得到 k≠0 且 k<1
正确答案 k∈(−∞,0)∪(0,1)
03 错误总结

含参数的方程，先检查二次项系数是否为 0。

a=0 二次项消失

bx + c = 0

按剩余方程讨论，不使用二次方程判别式

a≠0 是一元二次方程
易错
未判断方程次数→直接使用判别式
正确
检查二次项系数→ 先判断方程次数→ 是二次方程时再使用判别式

12．（多选）下列判断中正确的是（　　）

  1. 集合 {x∈ℤ｜x>0} 与集合 ℕ 相等
  2. 集合 {x∈ℝ｜x=q/p，p,q∈ℤ，p≠0} 与集合 ℚ 相等
  3. 集合 {x｜y=x2+1} 与集合 ℝ 相等
  4. 在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为 {(x,y)｜xy>0}
01 原解题步骤和答案
选项判断过程判定
A{x∈ℤ｜x>0}={1,2,3,…}，不含 0；ℕ={0,1,2,3,…}，含 0。两个集合不相等。不正确
不选
B当 p,q∈ℤ，p≠0 时，q/p 是有理数；每个有理数也都能写成这样的 q/p。题中集合就是 ℚ。正确
选
C因为 y=x2+1≥1，所以集合为 [1,+∞)，不等于 ℝ。不正确
不选
D第一象限内 x>0，y>0；第三象限内 x<0，y<0。这两种情况恰好对应 xy>0。正确
选
荣同学的答案BD
02正确解题步骤和答案
逐项核对 · 重点看 C
选项正确判断判定
A{x∈ℤ｜x>0} 不含 0，ℕ 含 0，两个集合不相等。原判断正确不正确
不选
Bq/p（p,q∈ℤ，p≠0） 表示全体有理数，题中集合等于 ℚ。原判断正确正确
选
C 修正这一项

先看元素：竖线前写的是 x，要求的是 x 的取值范围。

再看条件：任意实数 x 都有对应的 y=x2+1，所以 x 可以取遍 ℝ。

Oxy1 y≥1 y=x²+1 横轴投影：x∈ℝ
横轴投影给出 x 的范围；纵轴投影给出 y 的范围。

集合 {x｜y=x2+1}=ℝ，C 应选。

正确
补选
Dxy>0 当且仅当 x、y 同号，对应第一、三象限内的点。原判断正确正确
选
正确答案B C D
03错误总结

描述法表示集合，先看收集的元素，再看限制条件。

同一条件 y=x²（x、y∈ℝ），只改变竖线前的元素表达式：

收集 x

{x｜y=x²}

xyO

x 轴上的数

ℝ
收集 y

{y｜y=x²}

xyO

y 轴上非负的数

[0,+∞)
收集 (x,y)

{(x,y)｜y=x²}

xyO

坐标平面上的点

抛物线上的点

竖线前决定收集什么；竖线后决定这些元素要满足什么条件。

15．非空有限集合 S 是由若干个正实数组成，集合 S 的元素不少于 2 个，对于任意 a,b∈S，a≠b，若数 ab 或 ba 中至少有一个属于 S，则称集合 S 是“好集”，否则称集合 S 是“坏集”。

（1）判断 A={1,3,9} 和 B={1,½,¼} 是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由。

01 原解题步骤和答案

① 判断 A={1,3,9}

取 3，9。

39∉A，93∉A。

∴ 集合 A 为坏集。

② 判断 B={1,½,¼}

取 ½，¼。

(¼)½=√(¼)=½，且 ½∈B。

∴ 集合 B 为好集。

02正确解题步骤和答案
先理解数学定义 “任意”＝每一对不同元素

每一对都要满足：两个幂中至少有一个属于集合。

好集要满足什么？

所有不同元素对都满足：

ab∈S 或 ba∈S

每一对至少有一个幂属于集合
判断 B={1,½,¼}

覆盖全部三对不同元素

原解缺少 · 补查这两对

① 取 1，½

1½=1∈B

② 取 1，¼

1¼=1∈B

原解已检查

③ 取 ½，¼

(¼)½=½∈B

全部三对都满足条件

B 是好集

坏集要满足什么？

存在一对不同元素满足：

ab∉S 且 ba∉S

这一对的两个幂都不属于集合
判断 A={1,3,9}

寻找一对反例

原论证成立

取 3，9。

39>9，93>9

∴ 39∉A 且 93∉A

这一对的两个幂都不在 A 中，已找到反例。

有一对不满足条件

A 是坏集
正确结论A 是坏集，B 是好集
03错误总结

判断“任意”条件，成立要覆盖全部，否定只需一个反例。

有限对象的示意：假设待验证的全部对象就是 x₁、x₂、x₃、x₄。

证明成立 · 全部通过
每个对象都满足条件
证明不成立 · 一个反例就够
x₃ 不满足，命题即不成立

只检查部分对象还不够；对象无限时，要用一般性论证覆盖全部。

“两个条件至少一个成立”
✓ ✓✓ ✗✗ ✓✗ ✗反例必须两个都不成立
特训二

集合间的基本关系

5．已知集合 A={x｜−1≤x≤1}，B={x｜a−1≤x≤2a−1}，若 B⊆A，则实数 a 的取值范围是（　　）

  1. {a｜a≤1}
  2. {a｜a<1}
  3. {a｜0≤a≤1}
  4. {a｜0<a<1}
01 原解题步骤和答案
B 的区间包含在 A=[−1,1] 内
−1≤a−1≤2a−1≤1
a≥0 且 a≤1
原答案C：0≤a≤1
02正确解题步骤和答案
先理解包含关系B⊆A：B 中的每个元素都属于 A
先分类，再检查端点B 是否为空集？
B=∅原解缺少 · 空集的情况

a−1>2a−1

解得 a<0

没有 x 能同时满足两个端点条件

空集是任何集合的子集
a<0 全部符合题意
B≠∅再检查 B 的两个端点

a−1≤2a−1，即 a≥0

a−1≥−1，2a−1≤1

解得 0≤a≤1

AB−11a−12a−1B 的两个端点都在 [−1,1] 内
a=0 时，B={−1}，也符合题意
合并两种情况a<0 或 0≤a≤1，即 a≤1
正确答案A：{a｜a≤1}
03错误总结

由集合包含关系求参数，先讨论被包含的集合是否为空集。

要求 B⊆A，先问：B 是否为空？
B=∅ · 直接满足包含关系

B 没有元素，找不到违反包含关系的元素。

∅⊆任何集合
B≠∅ · 再逐个检查元素
AB

必须保证 B 的每个元素都在 A 内。

区间集合再比较端点
最终参数范围

空集分支的范围 ∪ 非空集分支通过检查的范围

7．设集合 A={x｜y=x2−4}，B={y｜y=x2−4}，C={(x,y)｜y=x2−4}，则下列关系中正确的是（　　）

  1. A=B
  2. B⊆A
  3. A⊆C
  4. 2∈C
01 原解题步骤和答案
判断 A=B
原答案A
02正确解题步骤和答案
先确定集合收集什么看竖线前的元素表达式

集合 A

{x｜y=x2−4}

↓ 收集横坐标 xA=ℝ

集合 B

{y｜y=x2−4}

↓ 收集纵坐标 yB=[−4,+∞)

集合 C

{(x,y)｜y=x2−4}

↓ 收集点的坐标C 是抛物线上的点集
xyO−4−22(0,−4)∈CC：曲线上的点B：y≥−4A：横轴投影，x∈ℝ
相同的条件，收集的元素不同，得到的集合也不同。
选项判断依据判定
AA=ℝ，B=[−4,+∞)。例如 −5∈A，但 −5∉B，所以 A≠B。不正确
取消选择
BB 中的每个数都是实数，都属于 A，因此 B⊆A。正确
选
CA 的元素是实数，C 的元素是坐标对，不能把 A 中的数当成 C 中的点。不正确
DC 收集的是 (x,y)，数 2 不是坐标对，因此 2∉C。不正确
正确答案B：B⊆A
03错误总结

描述法表示集合，先看收集的元素，再看限制条件。

同一条件 y=x²（x、y∈ℝ），只改变竖线前的元素表达式：

收集 x

{x｜y=x²}

xyO

x 轴上的数

ℝ
收集 y

{y｜y=x²}

xyO

y 轴上非负的数

[0,+∞)
收集 (x,y)

{(x,y)｜y=x²}

xyO

坐标平面上的点

抛物线上的点

竖线前决定收集什么；竖线后决定这些元素要满足什么条件。

8．若集合 A={x｜ax2+1=0} 是空集，则 a 的取值范围是______。

01 原解题步骤和答案
A=∅，方程 ax2+1=0 无实数解
x2=−1/a，要无实数解，需 −1/a<0
所以 a>0
原答案a>0
02正确解题步骤和答案
题意转换A=∅ → 方程 ax²+1=0 无实数解
原解缺少 · 先检查二次项系数a 是否为 0？
a=0二次项消失

0·x2+1=0

即 1=0，不可能成立

没有实数解，A=∅
a=0 也符合题意
a≠0此时才能除以 a

x2=−1/a

因为 x2≥0

无实数解 ⇔ −1/a<0

得到 a>0
合并两种情况a=0 或 a>0
正确答案{a｜a≥0}
03错误总结

含参数的方程，先检查二次项系数是否为 0。

a=0 二次项消失

bx + c = 0

按剩余方程讨论，不使用二次方程判别式

a≠0 是一元二次方程
易错
未判断方程次数→直接使用判别式
正确
检查二次项系数→ 先判断方程次数→ 是二次方程时再使用判别式
特训三

并集与交集

12．已知集合 A={x∈ℤ｜−1≤x<√3}，B={x｜a<x<a+3/2}，若 A∩B 中有两个元素，则实数 a 的取值范围是（　　）

  1. {a｜−3/2<a<−1}
  2. {a｜−3/2<a<0}
  3. {a｜−3/2<a<−1 或 −1/2<a<0}
  4. {a｜−3/2<a<0 或 a>1}
01原解题步骤和答案
A={−1,0,1}
B 中包含 −1、0
a<−1，0<a+3/2
解得 −3/2<a<−1
原答案A
02正确解题步骤和答案
把整数集合列出来A={−1,0,1}
先列全可能，再分别求范围A∩B 恰好有两个元素，会是哪两个？

−1 与 1 相距 2，而 B 的区间长度仅为 3/2，不能同时包含这两个数。只需讨论相邻的两对。

A∩B={−1,0}原解已考虑
-101aa+3/2B 的开区间

a<−1

a+3/2>0

−3/2<a<−1
A∩B={0,1}原解遗漏 · 补上第二种可能
-101aa+3/2B 的开区间

a<0

a+3/2>1

−1/2<a<0
检查端点B 是开区间，两个端点都不能取到元素
正确答案C：a∈(−3/2,−1)∪(−1/2,0)
03错误总结

由交集的元素个数求参数，先列全可能的元素组合，再分别判断端点。

示意：u₁<u₂<u₃<u₄，一个区间恰好包含其中两个元素。按从左到右的顺序列出所有相邻对。

候选 1
u1u2u3u4

{u1,u2}

候选 2
u1u2u3u4

{u2,u3}

候选 3
u1u2u3u4

{u3,u4}

不能跳过中间元素：区间若包含 u₁、u₃，也必然包含 u₂。

逐组检查区间端点

选中的两个元素都在区间内，其余元素都在区间外；同时检查端点能否取等。

合并所有可行组合对应的参数范围

13．设集合 A={2,3,4,5}，B={4,5,6}，则满足 S⊆A 且 S∩B≠∅ 的集合 S 有______个。

01原解题步骤和答案

逐个列出满足条件的集合 S：

{4}{5}{4,5}{4,2}{4,3}{5,2}{5,3}{4,5,3}{4,5,2}{4,5,2,3}
所列集合数10 个
02正确解题步骤和答案
先读条件S⊆A，且 S 至少含有一个 B 中的元素
把 A 的元素分成两组A∩B={4,5}；其余元素是 2、3
{4,5} 中至少选一个保证 S∩B≠∅

{4}，{5}，{4,5}

3 种选择
{2,3} 中任意选可以都不选

∅，{2}，{3}，{2,3}

4 种选择

固定第一组的一种选择，再依次搭配第二组的四种选择。每个格子对应一个不同的 S。

从 {4,5} 选不选 2、3再选 {2}再选 {3}再选 {2,3}
{4}{4}{2,4}{3,4}{2,3,4}原列举遗漏
{5}{5}{2,5}{3,5}{2,3,5}原列举遗漏
{4,5}{4,5}{2,4,5}{3,4,5}{2,3,4,5}

按三行、每行四个来列举，不重不漏。红色格子补上 {2,3,4} 与 {2,3,5}。

正确答案3×4=12 个
03错误总结

带条件的子集计数，先分清“必须选”和“可以选”，再有序组合。

示意：p、q、r、s 互不相同。从 {p,q} 中至少选一个，r、s 可以选，也可以不选。

先列全必选组的选择 P
{p}{q}{p,q}

共3种；每一种都沿下面的分支走一遍。

固定 P，再决定 r、s 是否加入
不选 r
不选 sP
选 sP∪{s}
选 r
不选 sP∪{r}
选 sP∪{r,s}

每个 P 对应4种结果，共3×4=12种。 每个末端对应唯一一个集合，“都不选”也有自己的位置。

14．已知集合 A={x｜−3≤x≤4}，B={x｜2m−1<x<m+1}。

（2）若 A∪B=A，求实数 m 的取值范围。

01原解题步骤和答案
A∪B=A，所以 B⊆A

B=∅ 时

2m−1≥m+1

m≥2

B≠∅ 时

2m−1<m+1

−3<2m−1，m+1≤4

−1<m<2

原答案m>−1
02正确解题步骤和答案
包含关系A∪B=A ⇔ B⊆A
原解已分类 · 重点检查取等B 的左端点能否等于 −3？

把边界值 m=−1 代回去

A=[−3,4]，B=(−3,0)

AB−304

B 虽然不包含 −3，但 B 中的每个数仍在 A 内。

m=−1 符合条件，必须计入答案。
B=∅原分类正确

2m−1≥m+1

m≥2
B≠∅修正左端点的等号

m<2

−3≤2m−1，m+1≤4

−1≤m<2

合并 m≥2 与 −1≤m<2。

正确答案m≥−1
03错误总结

判断参数边界能否取等，把边界值代回原集合关系验证。

以 B⊆A 为例：代入边界值后，两个左端点重合在 α，检查包含关系是否仍成立。下图 α<γ<β。

边界可以取 · 包含关系仍成立

A=[α,β]，B=(α,γ]

AB αγβ

B 不含 α，其余元素都在 A 内。

B⊆A 成立
边界不能取 · 出现不满足条件的元素

A=(α,β]，B=[α,γ]

AB αγβ

α∈B，但 α∉A。

B⊆A 不成立

● 实心：包含端点○ 空心：不含端点

判断依据：代入后的原关系是否成立，而不是端点位置是否重合。

16．（多选）设集合 A={x｜x2−(a+2)x+2a=0}，B={x｜x2−5x+4=0}，集合 A∪B 中所有元素之和为7，则实数 a 的值可以为（　　）

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
01原解题步骤和答案
原答案ACD
02正确解题步骤和答案
因式分解，求出元素(x−2)(x−a)=0；(x−1)(x−4)=0
A={2,a}，B={1,4}

并集一定包含这三个不同元素

124
1+2+4=7
再判断参数是否带来新元素a 是否与 1、2、4 中的某个数相同？
a∈{1,2,4}与已有元素重合
a=1、2 或 4
124

并集仍为 {1,2,4}

元素和仍为7，全部符合
a∉{1,2,4}增加一个新元素
124a

1+2+4+a=7

a=0，符合本分支条件

合并得 a∈{0,1,2,4}。题目提供的四个选项中，0、1、2 可取，3 不可取。

A · 0：符合B · 1：补选C · 2：符合D · 3：取消选择
正确答案ABC
03错误总结

含参数集合，先判断元素是否重合，再计数或求和。

集合内部 · 相同的根合成一个元素

同一个方程得到两个相同的根：

rr
{r}
1个元素，元素和为 r
两个集合合并 · 公共元素只保留一次

示意 p、q、r 两两不同：

A
pr
B
rq
{prq}

两个 r 合并成一个元素。

3个元素，元素和为 p+r+q

参数让元素的值相同时，也按图中方式合并，再计数或求和。

特训四

全集、补集及其综合应用

7．（多选）当 U 为全集时，下列说法中正确的是（　　）

  1. 若 A∩B=∅，则 (∁UA)∪(∁UB)=U
  2. 若 A∩B=∅，则 A=∅ 或 B=∅
  3. 若 A∪B=U，则 (∁UA)∩(∁UB)=∅
  4. 若 A∪B=∅，则 A=B=∅
01原解题步骤和答案
选项选项中的关系判定
A若 A∩B=∅，则 (∁UA)∪(∁UB)=U正确
选
B若 A∩B=∅，则 A=∅ 或 B=∅不正确
不选
C若 A∪B=U，则 (∁UA)∩(∁UB)=∅不正确
不选
D若 A∪B=∅，则 A=B=∅正确
选
原答案AD
02正确解题步骤和答案
先画图，再读区域画出全集 U，标出 A、B 和它们的外部
原解漏选 CA∪B=U 时，哪里不可能有元素？

A 项 · 交集为空

A∩B=∅

UAB全集每个元素至少在一个补集中

两个集合不相交，补集的并集覆盖整个 U。

C 项 · 原解漏选

题设：A∪B=U

先分别标出两个补集，再取阴影的公共部分。

① A 的补集
UAB ∁UA

全集内，A 圆外

∩
② B 的补集
UAB ∁UB

全集内，B 圆外

③ 两者的交集
UAB (∁UA)∩(∁UB)

全集内，两圆共同的外部

由 A∪B=U，两圆外没有元素。

(∁UA)∩(∁UB)=∅
选项判断过程判定
AA、B 没有公共元素，任何元素不可能同时属于 A、B，因此至少属于一个补集。正确
选
B反例：A={1}，B={2}。A∩B=∅，但 A、B 都不是空集。不正确
不选
C图中两圆外的区域表示 (∁UA)∩(∁UB)。A∪B=U，说明这一区域没有元素。正确
补选
D并集中没有任何元素，A、B 中也都不能有元素，所以 A=B=∅。正确
选
正确答案ACD
03错误总结

遇到交集、并集、补集和包含关系，先画维恩图，把条件落实到区域。

交集 · A∩B
ABU

同时属于 A、B，取重叠区域。

并集 · A∪B
ABU

属于 A 或 B，取两圆合并的区域。

补集 · ∁UA
AU

全集内不属于 A，取圆外区域。

包含 · A⊆B
ABU

A 的每个元素都属于 B。

画图后：标出题设限定的区域，再检验结论；否定时找一个反例。

12．（多选）已知 A、B 是 U 的子集，可以推出 A⊆B 的是（　　）

  1. A∩B=B
  2. A∩(∁UB)=∅
  3. A∪B=B
  4. (∁UB)⊆(∁UA)
01原解题步骤和答案
选项选项中的关系判定
AA∩B=B能推出
选
BA∩(∁UB)=∅能推出
选
CA∪B=B不能推出
不选
D(∁UB)⊆(∁UA)不能推出
不选
原答案AB
02正确解题步骤和答案
把目标画出来A⊆B：A 的全部元素都在 B 内
逐个条件对应到图中能否保证 A 没有落在 B 外的部分？

A 项 · 包含方向相反

A∩B=B

UAB12

这说明 B⊆A。图中 A={1,2}、B={1} 满足条件，但 A⊆B 不成立。取消 A。

B 项 · A 不能落在 B 外

A∩(∁UB)=∅

UBAA 落在 B 外的部分：∅

A 与 B 外部没有公共元素，所以 A 的全部元素都在 B 内。选 B。

C 项 · 合并后没有扩大

A∪B=B

UBA加入 A，B 的范围没有扩大

并集仍是 B，说明 A 没有带来 B 以外的元素。补选 C。

D 项 · 取补集，方向反转

(∁UB)⊆(∁UA)

UBABᶜB 外的区域都在 A 外

若有元素属于 A 却不属于 B，它就属于 B 的补集，却不属于 A 的补集，与条件矛盾。补选 D。

正确答案BCD
03错误总结

遇到交集、并集、补集和包含关系，先画维恩图，把条件落实到区域。

交集 · A∩B
ABU

同时属于 A、B，取重叠区域。

并集 · A∪B
ABU

属于 A 或 B，取两圆合并的区域。

补集 · ∁UA
AU

全集内不属于 A，取圆外区域。

包含 · A⊆B
ABU

A 的每个元素都属于 B。

画图后：标出题设限定的区域，再检验结论；否定时找一个反例。

13．已知集合 S={x｜0<x<9}，集合 A={x｜8<x<10}，B={x｜a<x<2a−1}，若 (∁SB)∩A={x｜8<x<9}，则实数 a 的取值范围是______。

01原解题步骤和答案
原端点判断2a−1<8
解得a<9/2
原答案a<9/2
02正确解题步骤和答案
先确定要保留的区域A∩S=(8,9)
再理解补集条件从 S 中去掉 B 后，(8,9) 中的每个元素都要保留
原解重点修正B 的右端点能否等于 8？

按教材补集的约定，B⊆S。B 非空时不能占用 (8,9)，其右端点应满足 2a−1≤8；B 为空时 a≤1，也包含在最终范围内。

把边界值 a=9/2 代回去

B=(9/2,8)，A∩S=(8,9)

SBA∩S09/289

B 不包含 8，也没有进入 (8,9)，所以原集合条件仍成立。

a=9/2 符合条件，等号可以取。
修正端点条件2a−1≤8 ⇒ a≤9/2
正确答案a≤9/2
03错误总结

判断参数边界能否取等，把边界值代回原集合关系验证。

以 B⊆A 为例：代入边界值后，两个左端点重合在 α，检查包含关系是否仍成立。下图 α<γ<β。

边界可以取 · 包含关系仍成立

A=[α,β]，B=(α,γ]

AB αγβ

B 不含 α，其余元素都在 A 内。

B⊆A 成立
边界不能取 · 出现不满足条件的元素

A=(α,β]，B=[α,γ]

AB αγβ

α∈B，但 α∉A。

B⊆A 不成立

● 实心：包含端点○ 空心：不含端点

判断依据：代入后的原关系是否成立，而不是端点位置是否重合。

特训五

充分条件与必要条件

5．（多选）下列命题为假命题的是（　　）

  1. “a>b”是“a2>b2”的充分条件
  2. “a>b”是“a2>b2”的必要条件
  3. “a+3 是无理数”是“a 是无理数”的充分条件
  4. “x=1”是“x2+2x−3=0”的必要条件
01原解题步骤和答案
选项命题原判定
A“a>b”是“a2>b2”的充分条件真命题
不选
B“a>b”是“a2>b2”的必要条件假命题
选
C“a+3 是无理数”是“a 是无理数”的充分条件真命题
不选
D“x=1”是“x2+2x−3=0”的必要条件假命题
选
原答案BD
02正确解题步骤和答案
先把条件翻译成集合P：使 p 成立的所有对象；Q：使 q 成立的所有对象
再确定包含方向充分：p ⇒ q，P⊆Q；必要：q ⇒ p，Q⊆P
本题选假命题检查所要求的包含关系是否成立

A 项 · 原解漏选

P={(a,b)｜a>b}，Q={(a,b)｜a²>b²}。充分条件要求 P⊆Q。

PQ(2,−5)集合关系示意，不是坐标图
a=2，b=−5

2>−5　✓

2²=4<25=(−5)²　✗

(2,−5)∈P，但 (2,−5)∉Q

P⊆Q 不成立，A 是假命题，应选。

选项集合关系与检验判定
AP={(a,b)｜a>b}，Q={(a,b)｜a²>b²}。
充分条件要求 P⊆Q；(2,−5) 在 P 内、Q 外，包含不成立。		假命题
补选
BP、Q 同 A 项。必要条件要求 Q⊆P。
取 (a,b)=(−3,2)，a²>b²，但 a<b，包含不成立。		假命题
选
CP={a｜a+3 是无理数}，Q={a｜a 是无理数}。
充分条件要求 P⊆Q；a=(a+3)−3 仍是无理数，包含成立。		真命题
不选
DP={1}，Q={x｜x²+2x−3=0}={1,−3}。
必要条件要求 Q⊆P；−3∈Q，但 −3∉P，包含不成立。		假命题
选
正确答案ABD
03错误总结

充分、必要条件要转成集合包含关系。

P 收集使 p 成立的所有对象，Q 收集使 q 成立的所有对象。固定 p 在左、q 在右；上箭头 p→q 检查充分性，下箭头 q→p 检查必要性。

pq充分✓✓必要充要条件

P=Q

pq充分✓✕必要充分不必要条件

P⊊Q

pq充分✕✓必要必要不充分条件

Q⊊P

pq充分✕✕必要既不充分也不必要条件

P⊈Q 且 Q⊈P

p⇒q 对应 P⊆Q；q⇒p 对应 Q⊆P。
只说“充分”或“必要”时允许两者都成立；加上“不必要”或“不充分”才要求真包含。

9．已知 p：x<−2 或 x>10，q：x<1+a 或 x>1−a（a<0），若 p 是 q 的必要条件，则实数 a 的取值范围为______。

01原解题步骤和答案
原答案a<0
02正确解题步骤和答案
理解“p 是 q 的必要条件”q 成立，一定能推出 p 成立
明确推导方向q ⇒ p
落实集合包含关系Q⊆P

P=(−∞,−2)∪(10,+∞)

Q=(−∞,1+a)∪(1−a,+∞)

Q 的每个元素都要在 P 中，左右两段必须同时被包含。
左侧区间被包含

(−∞,1+a)⊆(−∞,−2)

1+a≤−2

a≤−3
右侧区间被包含

(1−a,+∞)⊆(10,+∞)

1−a≥10

a≤−9
两端同时满足，取交集

a≤−3 且 a≤−9，再结合 a<0，得到 a≤−9。

代入 a=−9，用数轴检查 Q⊆P

P=(−∞,−2)∪(10,+∞)，Q=(−∞,−8)∪(10,+∞)

PQ−8−210Q 的左右两段都在 P 内，a=−9 符合题意。

原答案 a<0 只保留了题目给出的限制；还需用 Q⊆P 检查必要条件。

正确答案a≤−9，即 (−∞,−9]
03错误总结

充分、必要条件要转成集合包含关系。

P 收集使 p 成立的所有对象，Q 收集使 q 成立的所有对象。固定 p 在左、q 在右；上箭头 p→q 检查充分性，下箭头 q→p 检查必要性。

pq充分✓✓必要充要条件

P=Q

pq充分✓✕必要充分不必要条件

P⊊Q

pq充分✕✓必要必要不充分条件

Q⊊P

pq充分✕✕必要既不充分也不必要条件

P⊈Q 且 Q⊈P

p⇒q 对应 P⊆Q；q⇒p 对应 Q⊆P。
只说“充分”或“必要”时允许两者都成立；加上“不必要”或“不充分”才要求真包含。

11．若 −1≤x<2，则“x²−a≤0”为真命题的一个充分条件可以是（　　）

  1. a≥3
  2. a>4
  3. a≥1
  4. a>1
01原解题步骤和答案
原答案C
02正确解题步骤和答案
第一层：找“一个充分条件”是什么意思？找一个关于 a 的条件；只要它成立，题中的命题就一定成立
第二层：“命题为真”是什么意思？每一个满足 −1≤x<2 的 x，都必须满足 x²≤a
合起来：真正要保证什么？所选的 a 的范围，必须保证所有这些 x 的平方都不超过 a
先确定完整范围x²<4 且能任意接近 4，所以 a≥4
再检查选项是否足够a>4 ⇒ a≥4 ⇒ 原命题为真
为什么 a<4 不行？

当 a<4 时，可以选一个足够接近 2 的 x，使 x²>a。不能因为 x 取不到 2，就把所需下界降到 4 以下。

pq充分✓✕必要选项 B 是充分条件

(4,+∞)⊊[4,+∞)

p：a>4
q：对所有 −1≤x<2，都有 x²≤a

正确答案B
03错误总结

先弄清条件各自表示什么，再明确题目要求哪一个条件推出另一个。

求关于 a 的一个充分条件，使范围内每个 x 都满足不等式。
关系要求 → 所选条件必须足够
HA要求 H⊆A，允许 H=A

H：所选条件对应的 a 的范围
A：使整个命题为真的 a 的范围

条件含义 → 所有对象都通过
给定的整个 x 范围✓✓✓…每一个 x 都满足不等式

“命题为真”落实到整个范围，不能只检查某一个 x。

合起来，真正要解决的是找一个 a 的范围，保证范围内每一个 x 都满足不等式。

先确定完整范围 A，再检查所选范围 H 是否包含在 A 内。

12．（多选）设集合 S={(△ABC,△DEF)｜两个三角形全等}，T={(△ABC,△DEF)｜两个三角形对应边相等}，U={(△ABC,△DEF)｜两个三角形对应中线相等}，V={(△ABC,△DEF)｜两个三角形面积相等}，则下列说法正确的有（　　）

  1. 由 S⊆T，可知“两个三角形全等”是“对应边相等”的充分条件
  2. 由 T⊆S，可知“对应边相等”是“两个三角形全等”的充分条件
  3. 由 S⊆U，可知“两个三角形全等”是“对应中线相等”的必要条件
  4. 由 U 不是 S 的子集，可知“两个三角形对应中线相等”是“两个三角形全等”的充分条件
01原解题步骤和答案
选项理解与判断判定
A由 S⊆T，可知“两个三角形全等”是“对应边相等”的充分条件正确
选
B由 T⊆S，可知“对应边相等”是“两个三角形全等”的充分条件不正确
不选
C由 S⊆U，可知“两个三角形全等”是“对应中线相等”的必要条件不正确
不选
D由 U 不是 S 的子集，可知“两个三角形对应中线相等”是“两个三角形全等”的充分条件正确
选
原答案AD
02正确解题步骤和答案
先看集合收集的对象每个元素是一对三角形，条件决定这对三角形是否属于该集合
把包含翻译成推导S⊆T：全等 ⇒ 对应边相等；T⊆S：对应边相等 ⇒ 全等
最后核对充分与必要出发条件是充分条件；被推出的条件是必要条件
选项理解与判断判定
AS⊆T 给出“全等 ⇒ 对应边相等”，所以全等是对应边相等的充分条件。正确
选
BT⊆S 给出“对应边相等 ⇒ 全等”，所以对应边相等是全等的充分条件。正确
补选
C仅由 S⊆U 得到“全等 ⇒ 对应中线相等”；要判定全等是必要条件，应检查反向 U⊆S，不能把给出的箭头倒过来。推导不成立
不选
D“对应中线相等”是“全等”的充分条件，需要 U⊆S；选项却以 U⊈S 为依据，不能得到所说的充分条件。推导不成立
改为不选
pq充分✓✓必要全等与对应边相等互为充要条件

S=T

p：两个三角形全等
q：两个三角形对应边相等

正确答案AB
03错误总结

充分、必要条件要转成集合包含关系。

P 收集使 p 成立的所有对象，Q 收集使 q 成立的所有对象。固定 p 在左、q 在右；上箭头 p→q 检查充分性，下箭头 q→p 检查必要性。

pq充分✓✓必要充要条件

P=Q

pq充分✓✕必要充分不必要条件

P⊊Q

pq充分✕✓必要必要不充分条件

Q⊊P

pq充分✕✕必要既不充分也不必要条件

P⊈Q 且 Q⊈P

p⇒q 对应 P⊆Q；q⇒p 对应 Q⊆P。
只说“充分”或“必要”时允许两者都成立；加上“不必要”或“不充分”才要求真包含。

13．设 p：k≥4，b≤5；q：一次函数 y=(k−4)x+b−5 的图象交 y 轴于负半轴，交 x 轴于正半轴。则 p 是 q 的______条件；q 是 p 的______条件。（用“充分”“必要”填空）

01原解题步骤和答案
原答案充要；充要
02正确解题步骤和答案
题目要判断什么？先判断 p 对 q 的关系，再判断 q 对 p 的关系
先翻译图象条件 qy 轴截距为负：b−5<0；x 轴截距为正：(5−b)/(k−4)>0
合并两条图象信息b<5 时 5−b>0，所以 k>4；q 即 k>4 且 b<5
现在比较两个条件范围Q={(k,b)｜k>4，b<5} ⊊ P={(k,b)｜k≥4，b≤5}
把条件画在 k、b 参数平面中
kb45OQ：k>4，b<5内部同时属于 P、Q边界属于 P，不属于 Q

红色边界也属于 P；绿色内部属于 Q。因此 Q⊊P，q⇒p 成立。

pq充分✕✓必要p 是 q 的必要不充分条件

Q⊊P

p：k≥4，b≤5
q：k>4，b<5

两个方向分别检查

q⇒p 成立；p⇒q 不成立，例如 k=5、b=5 时图象经过原点，不符合 q。p 还允许 k=4，此时也不是一次函数。

正确答案必要；充分
03错误总结

先弄清条件各自表示什么，再明确题目要求哪一个条件推出另一个。

求关于 a 的一个充分条件，使范围内每个 x 都满足不等式。
关系要求 → 所选条件必须足够
HA要求 H⊆A，允许 H=A

H：所选条件对应的 a 的范围
A：使整个命题为真的 a 的范围

条件含义 → 所有对象都通过
给定的整个 x 范围✓✓✓…每一个 x 都满足不等式

“命题为真”落实到整个范围，不能只检查某一个 x。

合起来，真正要解决的是找一个 a 的范围，保证范围内每一个 x 都满足不等式。

先确定完整范围 A，再检查所选范围 H 是否包含在 A 内。

14．（1）是否存在实数 m，使“2x+m<0”是“x<−1 或 x>3”的充分条件？
（2）是否存在实数 m，使“2x+m<0”是“x<−1 或 x>3”的必要条件？

01原解题步骤和答案

2x+m<0 ⇒ x<−m/2

原答案（1）存在；（2）存在
02正确解题步骤和答案
先翻译两个条件p：2x+m<0，P=(−∞,−m/2)；q：x<−1 或 x>3，Q=(−∞,−1)∪(3,+∞)
再翻译两个小问充分：能否找到 m 使 P⊆Q？必要：能否找到 m 使 Q⊆P？
PQ−13m=2：P⊆Q，充分条件成立
（1）充分条件：P⊆Q

P 是向左无限延伸的射线，只能全部落入 Q 的左段。

−m/2≤−1 ⇒ m≥2
存在，例如 m=2。
（2）必要条件：Q⊆P

Q 包含所有大于 3 的数；P 的右端点 −m/2 是有限数，无法包含这些任意大的数。

取 x>max(3,−m/2)

此时 q 成立，p 不成立。

不存在。
原式化简只是第一步

还要根据充分或必要，判断哪一个集合必须包含在另一个集合内。

正确答案（1）存在，m≥2；（2）不存在
03错误总结

先弄清条件各自表示什么，再明确题目要求哪一个条件推出另一个。

求关于 a 的一个充分条件，使范围内每个 x 都满足不等式。
关系要求 → 所选条件必须足够
HA要求 H⊆A，允许 H=A

H：所选条件对应的 a 的范围
A：使整个命题为真的 a 的范围

条件含义 → 所有对象都通过
给定的整个 x 范围✓✓✓…每一个 x 都满足不等式

“命题为真”落实到整个范围，不能只检查某一个 x。

合起来，真正要解决的是找一个 a 的范围，保证范围内每一个 x 都满足不等式。

先确定完整范围 A，再检查所选范围 H 是否包含在 A 内。

15．已知条件 p：x<1−a 或 x>1+a，条件 q：x<1/2 或 x>1，求使 p 是 q 的充分条件且不是必要条件的最小正整数 a。

01原解题步骤和答案

P⊆Q，P≠Q

1+a≥1，1−a≤1/2

解得 a≥1/2

原答案a=1
02正确解题步骤和答案
pq充分✓✕必要充分不必要条件

P⊊Q

p：x<1−a 或 x>1+a
q：x<1/2 或 x>1

先保证包含1−a≤1/2，1+a≥1
再保证不是相等不能让两侧端点同时重合；至少一侧需要严格收进来

本题求正整数 a，P 的左右两段彼此分开。两侧都是开端点，端点重合时可以包含，但必须另查 P≠Q。

情况一：左端允许重合，右端不重合

1−a≤1/2，1+a>1

a≥1/2

边界示例：a=1/2

PQ1/213/2

在 a=1/2 这个边界示例中，左段重合，但 Q 中 (1,3/2] 的元素不属于 P，仍是真包含。

情况二：左端不重合，右端允许重合

1−a<1/2，1+a≥1

a>1/2PQ1−a1/211+a

这里右端实际也大于 1；例如 a=1 时，P=(−∞,0)∪(2,+∞)。

合并两种情况

a≥1/2 或 a>1/2，合并为 a≥1/2。两种情况允许重叠，最小正整数为 1。

原答案 1 正确。原步骤省略了真包含的边界检查；本题两个等式分别要求 a=1/2、a=0，不可能同时成立，因此省略检查并未改变最终范围。

正确答案1
03错误总结

充分不必要要求真包含：先保证包含，再检查是否可能相等。

以非空开区间 P=(l,r)、Q=(α,β) 为例：包含要求 α≤l、r≤β；真包含还要排除两端同时重合。

情况一：左端重合，右端不重合
PQαβl=α，r<β
情况二：左端不重合，右端允许重合
PQαβl>α，r≤β

是否取等要逐端检查；至少一端不重合，才能保证集合不相等。
端点的开闭还必须与原集合一致。