原题
设正实数 m、n 满足 m + n = 2，求 mn 的最大值。
题意整理
根据原题转写- 条件
- m > 0，n > 0m + n = 2
- 目标
- (mn)max
设正实数 m、n 满足 m + n = 2，求 mn 的最大值。
mn = {{variable}}(2 − {{variable}}) = 2{{variable}} − {{variable}}2
∵ {{variable}} > 0，2 − {{variable}} > 0
∴ 0 < {{variable}} < 2
mn = 2{{variable}} − {{variable}}2
= −({{variable}}2 − 2{{variable}} + 1) + 1
= 1 − ({{variable}} − 1)2
∵ ({{variable}} − 1)2 ≥ 0
∴ mn ≤ 1
等号成立 ⇔ ({{variable}} − 1)2 = 0 ⇔ {{variable}} = 1。
代回 {{other}} = 2 − {{variable}}，得到 {{other}} = 1。
还需要检查这个取值是否满足原题条件。
✓ m = 1 > 0，n = 1 > 0
✓ m + n = 1 + 1 = 2
∴ mn = 1，上界可以取到。
令 y = mn = −{{variable}}2 + 2{{variable}}。
∵ 二次项系数 −1 < 0，抛物线开口向下。
对称轴：{{variable}} = −2 ÷ (2 × (−1)) = 1
∵ 1 ∈ (0, 2)，顶点在定义域内。
∴ ymax = −(1)2 + 2 × 1 = 1
即 mn ≤ 1，在 {{variable}} = 1 时取等。
代回 {{other}} = 2 − {{variable}}，得 {{other}} = 1。
还需要检查这个取值是否满足原题条件。
∵m, n > 0，m + n = 2，目标是求 mn 的最大值。
∴定和求积，可以直接应用基本不等式。
∵ m > 0，n > 0
∴ m + n ≥ 2√mn
∵ m + n = 2
∴ 2 ≥ 2√mn
∴ 1 ≥ √mn，mn ≤ 1
上界已经得到，还需要检查它能否取到。
∵m = n，m + n = 2
∴m = n = 1
✓满足两数为正、和为 2，且 mn = 1。上界可以取到。
当 m = n = 1 时取到。