数学说

基本不等式

按题型分组，每道题都能点选关键步骤、随时提问。

核心公式 ab ≤ a+b2 (a, b > 0) 一正 · 二定 · 三相等

题目

共 30 题

直接法求最值

式子已满足“一正二定三相等”，直接套用公式。

5 题 讲解
  1. 设正实数 m、n 满足 m + n = 2，求 mn 的最大值。
  2. 求 x2+1x2 的最小值。
  3. 已知 x > 0，y > 0，xy = 4，求 x + 2y 的最小值。
  4. 已知 x < 0，判断 x+4x−4 的最值。
  5. 设 a、b 为实数，且 a + b = 3，求 2a+2b 的最小值。

常规配凑法求最值

先凑配表达式，配出满足条件的两项。第 08 题也可以找对称结构、和积换元，同类题见第 07 组。

4 题 讲解
  1. 已知实数 x > 1，求 2x+2x−1 的最小值。
  2. 已知 −3 < x < 0，求 y=x9−x2 的最小值。
  3. 已知正数 x、y 满足 xy = 1，求 x2+y2+6x+y 的最小值。
  4. 已知实数 a、b 满足 (1a−2)(1b−3)=6，求 ab 的最大值。

配齐次式求最值

利用条件中的定值，将目标配成零次齐次式。

4 题 讲解
  1. 已知 x、y > 0，且 x + 5y = 1，求 5x+4y 的最小值。
  2. 已知 a、b > 0，且 2a + b = 1，求 1a+ab 的最小值。
  3. 已知 x、y > 0，且 1x+4y=1，求 x+1y 的最小值。
  4. 已知 a、b > 0，且 a + b = 1，求 b+1a+a+1b 的最小值。

消参法求最值

用条件把一个变量表示成另一个，代入后化成一元式。第 30 题的第二条路径也是消元后分式分离。

5 题 讲解
  1. 已知 x、y > 0，且 x + 2y + xy − 7 = 0，求 x + y 的最小值。
  2. 已知 5m2n2 + n4 = 1，求 m2 + n2 的最小值。
  3. 已知正数 a、b 满足 2ab + 2a + b = 3，求 12a+1+1b 的最小值。
  4. 已知 a > 0，b > 0，9a + b = ab，求 a + 4b 的最小值。
  5. 已知 m > 2，n > 1，且 3m + 3n = mn + 7，求 m + 2n 的最小值。

换元求最值

把复杂的部分看成整体换成新变量，条件与范围随之改写。

4 题 讲解
  1. 已知 a、b > 0，且 a + b = 2，求 2a+1+4b 的最小值。
  2. 已知正数 m、n 满足 2m + n = 6，求 12m+1+1n+1 的最小值。
  3. 已知 a、b > 0，若 14a+b+1a+2b=3，求 5a + 3b 的最小值。
  4. 已知 x > y > 0，且 4x + 3y = 1，求 12x−y+2x+2y 的最小值。

分式分离法求最值

分子次数高于分母时，先逐项分离出整式部分，再配出积为定值的两项；分子次数较低时，先取倒数再分离。

5 题 讲解
  1. 已知 x > 0，求 y=x2−x+4x 的最小值及此时 x 的值。
  2. 若函数 f(x)=x2−2x+4x−2（x > 2）在 x = a 处取最小值，求 a 的值。
  3. 当 x > −1 时，求函数 y=x2+3x+6x+1 的最小值。
  4. 若 x > 0，求函数 y=2xx2+4 的最大值。
  5. 若 x > 0，求函数 y=2x+1x2+1 的最大值。

找对称结构和积换元

条件与目标交换 x、y 后不变时，用 s = x + y、p = xy 改写，再由和积关系得到范围。第 08 题的第二条路径也是这种做法；第 30 题也可以消元后分式分离，同类题见第 04 组。

3 题 讲解
  1. 若实数 x、y 满足 x2 + y2 − xy = 1，求 x + y 的取值范围。
  2. 若实数 x、y 满足 x2 + 4y2 − 2xy = 1，求 x2+y 的取值范围。
  3. 已知 a > 0，b > 0，且 2ab = a + 2b + 3，求 a + 2b 的最小值。

本专题的知识、技能、方法和题型

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