原题
$x^2+\frac{1}{x^2}$ 的最小值为？
题意整理
在实数范围内讨论- 条件
- $x\in\mathbb R,\quad x\ne0$
- 目标
- $\left(x^2+\frac1{x^2}\right)_{\min}$
$x^2+\frac{1}{x^2}$ 的最小值为？
$x\ne0\ \Longrightarrow\ x^2>0,\quad\frac1{x^2}>0$
$x^2\cdot\frac1{x^2}=1$
两正项的积固定，要求和的最小值，可以应用基本不等式。
$x^2>0,\quad\frac1{x^2}>0$
$x^2+\frac1{x^2}\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac1{x^2}}=2$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$x^2=\frac1{x^2}\ \Longrightarrow\ x^4=1\ \Longrightarrow\ x^2=1$
$x=\pm1$
两个取值都满足 $x\ne0$，且 $x^2+\frac1{x^2}=2$。下界可以取到。
$\left(x-\frac1x\right)^2=x^2-2+\frac1{x^2}$
$x^2+\frac1{x^2}=\left(x-\frac1x\right)^2+2$
$\left(x+\frac1x\right)^2=x^2+2+\frac1{x^2}$
$x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2\ge-2$
这个改写成立，但仅利用平方非负得到的下界 −2 无法取到。再看看差的平方。
$\left(x-\frac1x\right)^2=x^2-2+\frac1{x^2}$
$\left(x-\frac1x\right)^2\ge0$
$x^2+\frac1{x^2}=\left(x-\frac1x\right)^2+2\ge2$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$x=\frac1x\ \Longrightarrow\ x^2=1\ \Longrightarrow\ x=\pm1$
$\left(x-\frac1x\right)^2=0$
两个取值都满足 $x\ne0$，原式等于 $0+2=2$。下界可以取到。
当 $x=\pm1$ 时取到。