原题
已知 $x>0,\ y>0,\ xy=4$，则 $x+2y$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x>0,\quad y>0,\quad xy=4$
- 目标
- $(x+2y)_{\min}$
已知 $x>0,\ y>0,\ xy=4$，则 $x+2y$ 的最小值为？
$x>0,\quad y>0\ \Longrightarrow\ 2y>0$
$x\cdot2y=2xy=8$
两正项的积固定，要求和的最小值，可以应用基本不等式。
$x>0,\quad 2y>0$
$x+2y\ge2\sqrt{x\cdot2y}=2\sqrt{2xy}$
$xy=4\ \Longrightarrow\ x+2y\ge2\sqrt8=4\sqrt2$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$\begin{cases}x=2y\\xy=4\end{cases}\ \Longrightarrow\ 2y^2=4$
$y>0\ \Longrightarrow\ y=\sqrt2,\quad x=2\sqrt2$
$xy=2\sqrt2\cdot\sqrt2=4$
两数均为正，且 $x+2y=4\sqrt2$。下界可以取到。
当 $x=2\sqrt2,\ y=\sqrt2$ 时取到。