原题
已知 $x<0$，则 $x+\frac4x-4$ 有（ ）。
A. 最大值 0 B. 最小值 0
C. 最大值 −8 D. 最小值 −8
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x<0$
- 目标
- 判断 $x+\frac4x-4$ 的最值
已知 $x<0$，则 $x+\frac4x-4$ 有（ ）。
A. 最大值 0 B. 最小值 0
C. 最大值 −8 D. 最小值 −8
$x<0\ \Longrightarrow\ -x>0,\quad -\frac4x>0$
$-\left((-x)+\left(-\frac4x\right)\right)-4=x+\frac4x-4$
$(-x)+\left(-\frac4x\right)-4=-x-\frac4x-4$
前两项的符号发生了变化，与原式不等价。
$-\left((-x)+\left(-\frac4x\right)\right)+4=x+\frac4x+4$
常数变成了 +4，与原式中的 −4 不同。
$(-x)\left(-\frac4x\right)=4$
$(-x)+\left(-\frac4x\right)\ge2\sqrt{(-x)\left(-\frac4x\right)}=4$
$-\left((-x)+\left(-\frac4x\right)\right)\le-4$
$x+\frac4x-4\le-4-4=-8$
上界已经得到，还需要检查它能否取到。
$-x=-\frac4x\ \Longrightarrow\ x^2=4$
$x<0\ \Longrightarrow\ x=-2$
$-2+\frac4{-2}-4=-8$
取值满足原条件，上界可以取到。
当 $x=-2$ 时取到，选 C。