原题
设 $a、b$ 为实数，且 $a+b=3$，则 $2^a+2^b$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $a,b\in\mathbb R,\quad a+b=3$
- 目标
- $(2^a+2^b)_{\min}$
设 $a、b$ 为实数，且 $a+b=3$，则 $2^a+2^b$ 的最小值为？
$a,b\in\mathbb R\ \Longrightarrow\ 2^a>0,\quad 2^b>0$
$2^a\cdot2^b=2^{a+b}=2^3=8$
两正项的积固定，要求和的最小值，可以应用基本不等式。
$2^a>0,\quad 2^b>0$
$2^a+2^b\ge2\sqrt{2^a\cdot2^b}$
$2^a\cdot2^b=8\ \Longrightarrow\ 2^a+2^b\ge2\sqrt8=4\sqrt2$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$2^a=2^b\ \Longleftrightarrow\ a=b$
$\begin{cases}a=b\\a+b=3\end{cases}\ \Longrightarrow\ a=b=\frac32$
$2^{3/2}+2^{3/2}=4\sqrt2$
取值满足原条件，下界可以取到。
当 $a=b=\frac32$ 时取到。