原题
已知实数 $x>1$，则 $2x+\frac2{x-1}$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x>1$
- 目标
- $\left(2x+\frac2{x-1}\right)_{\min}$
已知实数 $x>1$，则 $2x+\frac2{x-1}$ 的最小值为？
$2x=2(x-1)+2$
$2(x-1)+\frac2{x-1}+2=2x-2+\frac2{x-1}+2=2x+\frac2{x-1}$
$2(x-1)+\frac2{x-1}=2x+\frac2{x-1}-2$
比原式少了 $2$，需要加回来。
$2(x-1)+\frac2{x-1}-2=2x+\frac2{x-1}-4$
展开后比原式少了 $4$，与原式不等价。
$x>1\ \Longrightarrow\ 2(x-1)>0,\quad\frac2{x-1}>0$
$2(x-1)\cdot\frac2{x-1}=4$
两个正项的积固定，求和的最小值。常数 $2$ 留在外面，最后加回。
$2(x-1)+\frac2{x-1}\ge2\sqrt{2(x-1)\cdot\frac2{x-1}}=4$
$2x+\frac2{x-1}=2(x-1)+\frac2{x-1}+2\ge4+2=6$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$2(x-1)=\frac2{x-1}\ \Longrightarrow\ (x-1)^2=1$
$x-1>0\ \Longrightarrow\ x-1=1\ \Longrightarrow\ x=2$
$2\cdot2+\frac2{2-1}=6$
$x=2>1$ 满足原条件，下界可以取到。
当 $x=2$ 时取到。