原题
已知 $-3<x<0$，则 $y=x\sqrt{9-x^2}$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $-3<x<0$
- 目标
- $y_{\min},\quad y=x\sqrt{9-x^2}$
已知 $-3<x<0$，则 $y=x\sqrt{9-x^2}$ 的最小值为？
$-3<x<0\ \Longrightarrow\ 0<x^2<9$
$\sqrt{x^2}=|x|=-x$
$y=-\sqrt{x^2}\sqrt{9-x^2}=-\sqrt{x^2(9-x^2)}$
$x<0\ \Longrightarrow\ x=-\sqrt{x^2}$
$x\sqrt{9-x^2}=-\sqrt{x^2(9-x^2)}$
$\sqrt{x^2(9-x^2)}=|x|\sqrt{9-x^2}=-x\sqrt{9-x^2}=-y$
这个式子是正数，而原式为负数；根号外还需要一个负号。
$y^2=x^2(9-x^2)$
平方后的乘积不是原式。恢复原式需要开平方，并根据原式为负选择负号。
$x^2>0,\quad 9-x^2>0$
$x^2+(9-x^2)=9$
两项的和固定。先求乘积的上界，再利用原式的负平方根形式确定下界。
$9=x^2+(9-x^2)\ge2\sqrt{x^2(9-x^2)}$
$\sqrt{x^2(9-x^2)}\le\frac92$
得到的是平方根的上界，还需要代回带负号的原式。
$y=-\sqrt{x^2(9-x^2)}\ge-\frac92$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$x^2=9-x^2\ \Longrightarrow\ x^2=\frac92$
$-3<x<0\ \Longrightarrow\ x=-\frac{3\sqrt2}{2}$
$y=-\sqrt{\frac92\cdot\frac92}=-\frac92$
这个取值位于原题的开区间内，下界可以取到。
当 $x=-\frac{3\sqrt2}{2}$ 时取到。