原题
已知正数 $x,y$ 满足 $xy=1$，则 $\frac{x^2+y^2+6}{x+y}$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x>0,\ y>0,\ xy=1$
- 目标
- $\left(\frac{x^2+y^2+6}{x+y}\right)_{\min}$
已知正数 $x,y$ 满足 $xy=1$，则 $\frac{x^2+y^2+6}{x+y}$ 的最小值为？
$\frac{(x+y)^2+4}{x+y}=\frac{x^2+y^2+6}{x+y}$
与原式相等。
$\frac{(x+y)^2+6}{x+y}=\frac{x^2+y^2+8}{x+y}$
分子比原式多了 $2$。
$\frac{(x+y)^2-4}{x+y}=\frac{x^2+y^2-2}{x+y}$
分子比原式少了 $8$。
$x^2+y^2+6=(x+y)^2-2xy+6=(x+y)^2+4$
$\frac{x^2+y^2+6}{x+y}=\frac{(x+y)^2+4}{x+y}=x+y+\frac4{x+y}$
条件和目标交换 $x$、$y$ 后都不变，$x>0,\ y>0$ 的取值范围也不变。
$x^2+y^2=s^2-2p$
$p=1,\quad s>0,\quad s^2\ge4p\ \Longrightarrow\ s\ge2$
$\frac{s^2-2p+6}{s}=\frac{s^2+4}{s}=s+\frac4s$
$x+y>0,\quad \frac4{x+y}>0$
$(x+y)\cdot\frac4{x+y}=4$
两正项的积固定，要求和的最小值。
$x+y+\frac4{x+y}\ge2\sqrt{(x+y)\cdot\frac4{x+y}}=4$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$x+y=\frac4{x+y},\quad x+y>0\ \Longrightarrow\ x+y=2$
$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=4-4=0$
$x=y,\quad x+y=2\ \Longrightarrow\ x=y=1$
$x=y=1>0,\quad xy=1,\quad \frac{1+1+6}{1+1}=4$
满足原条件，下界可以取到。
$s>0,\quad \frac4s>0$
$(s)\cdot\frac4s=4$
两正项的积固定，要求和的最小值。
$s+\frac4s\ge2\sqrt{(s)\cdot\frac4s}=4$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$s=\frac4s,\quad s\ge2\ \Longrightarrow\ s=2$
$p=1,\quad s^2-4p=0\ \Longrightarrow\ x=y$
$x+y=2\ \Longrightarrow\ x=y=1$
$x=y=1>0,\quad xy=1,\quad \frac{1+1+6}{1+1}=4$
满足原条件，下界可以取到。
当 $x=y=1$ 时取到。