原题
已知实数 $a,b$ 满足 $\left(\frac1a-2\right)\left(\frac1b-3\right)=6$，则 $ab$ 的最大值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $a,b\in\mathbb R,\quad a\ne0,\ b\ne0$
$\left(\frac1a-2\right)\left(\frac1b-3\right)=6$ - 目标
- $(ab)_{\max}$
已知实数 $a,b$ 满足 $\left(\frac1a-2\right)\left(\frac1b-3\right)=6$，则 $ab$ 的最大值为？
$a\ne0,\quad b\ne0$
$(1-2a)(1-3b)=6ab$
$1-2a-3b+6ab=6ab$
$2a+3b=1$
$ab<0\ \Longrightarrow\ ab\text{ 为负数}$
$ab>0\ \Longrightarrow\ a,b\text{ 同号}$
$2a+3b=1>0\ \Longrightarrow\ a>0,\ b>0$
以下先在 $ab>0$ 的情况下求上界；最后与负积情况比较。
$2a+3b=1,\quad (2a)(3b)=6ab$
求 $6ab$ 的最大值后除以 $6$，就得到 $ab$ 的最大值。
$1=2a+3b\ge2\sqrt{6ab}$
$6ab\le\frac14\ \Longrightarrow\ ab\le\frac1{24}$
正积情况下的上界已经得到，还需要验证取等。
$2a=3b,\quad 2a+3b=1$
$2a=3b=\frac12\ \Longrightarrow\ a=\frac14,\ b=\frac16$
$a=\frac14\ne0,\quad b=\frac16\ne0$
$\left(\frac1a-2\right)\left(\frac1b-3\right)=(4-2)(6-3)=6$
$ab=\frac1{24}$
$ab<0<\frac1{24}$
这个正上界能够取到，且大于所有负积情况，因此是全体可行解上的最大值。
$ab=a\cdot\frac{1-2a}{3}=\frac a3-\frac23a^2$
$a\ne0,\quad a\ne\frac12$
$ab=\frac a3-\frac23a^2=\frac1{24}-\frac23\left(a-\frac14\right)^2\le\frac1{24}$
二次项系数为负，开口向下。顶点对应 $a=\frac14$，此时平方项为零。
$a=\frac14,\quad b=\frac16$
还需要代回原分式条件验证。
$ab=b\cdot\frac{1-3b}{2}=\frac b2-\frac32b^2$
$b\ne0,\quad b\ne\frac13$
$ab=\frac b2-\frac32b^2=\frac1{24}-\frac32\left(b-\frac16\right)^2\le\frac1{24}$
二次项系数为负，开口向下。顶点对应 $b=\frac16$，此时平方项为零。
$a=\frac14,\quad b=\frac16$
还需要代回原分式条件验证。
$a=\frac14\ne0,\quad b=\frac16\ne0$
$\left(\frac1a-2\right)\left(\frac1b-3\right)=(4-2)(6-3)=6$
$ab=\frac1{24}$
当 $a=\frac14,\ b=\frac16$ 时取到。