原题
已知 $x,y>0$，且 $x+5y=1$，则 $\frac5x+\frac4y$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x>0,\quad y>0,\quad x+5y=1$
- 目标
- $\left(\frac5x+\frac4y\right)_{\min}$
已知 $x,y>0$，且 $x+5y=1$，则 $\frac5x+\frac4y$ 的最小值为？
目标为负一次，条件表达式为正一次，相乘可配成零次齐次式。
$x+5y=1$，乘入这个定值可以保持原式的值不变。
$\frac5x+\frac4y=\left(\frac5x+\frac4y\right)(x+5y)$
$=5+\frac{25y}{x}+\frac{4x}{y}+20$
$=25+\frac{25y}{x}+\frac{4x}{y}$
$x,y>0\ \Longrightarrow\ \frac{25y}{x}>0,\quad\frac{4x}{y}>0$
$\frac{25y}{x}\cdot\frac{4x}{y}=100$
两项的积固定，要求和的最小值；原式还包含常数 $25$。
$\frac{25y}{x}+\frac{4x}{y}\ge2\sqrt{\frac{25y}{x}\cdot\frac{4x}{y}}=20$
$\frac5x+\frac4y=25+\frac{25y}{x}+\frac{4x}{y}\ge25+20=45$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$\frac{25y}{x}=\frac{4x}{y}\ \Longrightarrow\ 25y^2=4x^2$
$x,y>0\ \Longrightarrow\ 2x=5y$
$2x=5y,\quad x+5y=1\ \Longrightarrow\ x=\frac13,\quad y=\frac2{15}$
$x=\frac13>0,\quad y=\frac2{15}>0$
$x+5y=\frac13+5\cdot\frac2{15}=1$
$\frac5x+\frac4y=15+30=45$
当 $x=\frac13,\ y=\frac2{15}$ 时取到。