原题
已知 $a>0,\ b>0$，且 $a+b=2$，求 $\frac2{a+1}+\frac4b$ 的最小值。
题意整理
根据原题转写- 条件
- $a>0,\quad b>0,\quad a+b=2$
- 目标
- $\left(\frac2{a+1}+\frac4b\right)_{\min}$
已知 $a>0,\ b>0$，且 $a+b=2$，求 $\frac2{a+1}+\frac4b$ 的最小值。
$t=a+1\ \Longrightarrow\ a=t-1$
$a+b=2\ \Longrightarrow\ (t-1)+b=2\ \Longrightarrow\ t+b=3$
$a>0\ \Longrightarrow\ t>1$；又 $b=3-t>0$，所以 $1<t<3$。
新目标 $\frac2t+\frac4b$ 的两个分母，正是新条件 $t+b=3$ 中的两个量。
目标为负一次，条件表达式为正一次，相乘可配成零次齐次式。
$t+b=3$，所以 $\frac{t+b}3=1$，乘入它可以保持原式的值不变。
$\frac2t+\frac4b=\left(\frac2t+\frac4b\right)\cdot\frac{t+b}3$
$=\frac13\left(2+\frac{2b}t+\frac{4t}b+4\right)$
$=2+\frac13\left(\frac{2b}t+\frac{4t}b\right)$
$t>1,\ b>0\ \Longrightarrow\ \frac{2b}{t}>0,\quad\frac{4t}{b}>0$
$\frac{2b}{t}\cdot\frac{4t}{b}=8$
两项的积固定，要求和的最小值；原式是 $2+\frac13(\cdots)$，系数 $\frac13$ 为正，和最小时原式也最小。
$\frac{2b}{t}+\frac{4t}{b}\ge2\sqrt{\frac{2b}{t}\cdot\frac{4t}{b}}=2\sqrt8=4\sqrt2$
$\frac2t+\frac4b=2+\frac13\left(\frac{2b}t+\frac{4t}b\right)\ge2+\frac{4\sqrt2}3$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$\frac{2b}{t}=\frac{4t}{b}\ \Longrightarrow\ b^2=2t^2$
$t,b>0\ \Longrightarrow\ b=\sqrt2\,t$
$b=\sqrt2\,t,\quad t+b=3\ \Longrightarrow\ t=3\sqrt2-3,\quad b=6-3\sqrt2$
$t=3\sqrt2-3\approx1.24>1$，在换元后的范围内。
$a=t-1=3\sqrt2-4>0,\quad b=6-3\sqrt2>0,\quad a+b=2$
$\frac2t+\frac4b=\frac{2\sqrt2+2}3+\frac{4+2\sqrt2}3=2+\frac{4\sqrt2}3$
当 $a=3\sqrt2-4,\ b=6-3\sqrt2$ 时取到。