原题
已知正数 $m,n$ 满足 $2m+n=6$，求 $\frac1{2m+1}+\frac1{n+1}$ 的最小值。
题意整理
根据原题转写- 条件
- $m>0,\quad n>0,\quad 2m+n=6$
- 目标
- $\left(\frac1{2m+1}+\frac1{n+1}\right)_{\min}$
已知正数 $m,n$ 满足 $2m+n=6$，求 $\frac1{2m+1}+\frac1{n+1}$ 的最小值。
$x=2m+1,\ y=n+1\ \Longrightarrow\ 2m=x-1,\ n=y-1$
$2m+n=6\ \Longrightarrow\ (x-1)+(y-1)=6\ \Longrightarrow\ x+y=8$
$m>0\ \Longrightarrow\ x>1$，$n>0\ \Longrightarrow\ y>1$。
新目标 $\frac1x+\frac1y$ 的两个分母，正是新条件 $x+y=8$ 中的两个量。
目标为负一次，条件表达式为正一次，相乘可配成零次齐次式。
$x+y=8$，所以 $\frac{x+y}8=1$，乘入它可以保持原式的值不变。
$\frac1x+\frac1y=\left(\frac1x+\frac1y\right)\cdot\frac{x+y}8$
$=\frac18\left(1+\frac yx+\frac xy+1\right)$
$=\frac14+\frac18\left(\frac yx+\frac xy\right)$
$x>1,\ y>1\ \Longrightarrow\ \frac{y}{x}>0,\quad\frac{x}{y}>0$
$\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}=1$
两项的积固定，要求和的最小值；原式是 $\frac14+\frac18(\cdots)$，系数 $\frac18$ 为正，和最小时原式也最小。
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}}=2$
$\frac1x+\frac1y=\frac14+\frac18\left(\frac yx+\frac xy\right)\ge\frac14+\frac14=\frac12$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$\frac{y}{x}=\frac{x}{y}\ \Longrightarrow\ x^2=y^2$
$x,y>0\ \Longrightarrow\ x=y$
$x=y,\quad x+y=8\ \Longrightarrow\ x=y=4$
$x=4>1,\quad y=4>1$，在换元后的范围内。
$m=\frac{x-1}2=\frac32>0,\quad n=y-1=3>0,\quad 2m+n=6$
$\frac1{2m+1}+\frac1{n+1}=\frac14+\frac14=\frac12$
当 $m=\frac32,\ n=3$ 时取到。