原题
已知 $a>0,\ b>0,\ 2a+b=1$，则 $\frac1a+\frac ab$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $a,b>0,\quad 2a+b=1$
- 目标
- $\left(\frac1a+\frac ab\right)_{\min}$
已知 $a>0,\ b>0,\ 2a+b=1$，则 $\frac1a+\frac ab$ 的最小值为？
第一项负一次，第二项零次，两项次数不同，目标不是齐次式。
条件表达式 $2a+b$ 是正一次，且 $2a+b=1$；只给第一项乘上它，次数 $(-1)+(+1)=0$，与第二项同为零次。
$\frac1a=\frac{2a+b}{a}=2+\frac ba$，相当于把分子的 $1$ 换成 $2a+b$
$\frac1a+\frac ab=2+\frac ba+\frac ab$
$a,b>0\ \Longrightarrow\ \frac ba>0,\quad\frac ab>0$
$\frac ba\cdot\frac ab=1$
两项的积固定，要求和的最小值；原式还包含常数 $2$。
$\frac ba+\frac ab\ge2\sqrt{\frac ba\cdot\frac ab}=2$
$\frac1a+\frac ab=2+\frac ba+\frac ab\ge2+2=4$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$\frac ba=\frac ab\ \Longrightarrow\ a^2=b^2$
$a,b>0\ \Longrightarrow\ a=b$
$a=b,\quad 2a+b=1\ \Longrightarrow\ a=b=\frac13$
$a=b=\frac13>0,\quad 2a+b=\frac23+\frac13=1$
$\frac1a+\frac ab=3+1=4$
当 $a=b=\frac13$ 时取到。