原题
设 $x>0,\ y>0$，$\frac1x+4y=1$，则 $x+\frac1y$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x,y>0$，$\frac1x+4y=1$
- 目标
- $\left(x+\frac1y\right)_{\min}$
设 $x>0,\ y>0$，$\frac1x+4y=1$，则 $x+\frac1y$ 的最小值为？
$x+\frac1y=\left(x+\frac1y\right)\left(\frac1x+4y\right)$
$=x\cdot\frac1x+x\cdot4y+\frac1y\cdot\frac1x+\frac1y\cdot4y$
$=1+4xy+\frac1{xy}+4=5+4xy+\frac1{xy}$
$x$ 与 $\frac1x$、$\frac1y$ 与 $4y$ 相乘都是常数，剩下的交叉项 $4xy$ 与 $\frac1{xy}$ 积为定值。
$x,y>0\ \Longrightarrow\ 4xy>0,\quad\frac1{xy}>0$
$4xy\cdot\frac1{xy}=4$
两项的积固定，要求和的最小值；原式还包含常数 $5$。
$4xy+\frac1{xy}\ge2\sqrt{4xy\cdot\frac1{xy}}=4$
$x+\frac1y=5+4xy+\frac1{xy}\ge5+4=9$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$4xy=\frac1{xy}\ \Longrightarrow\ (xy)^2=\frac14$
$x,y>0\ \Longrightarrow\ xy=\frac12,\ \text{即}\ y=\frac1{2x}$
$\frac1x+4y=1\ \Longrightarrow\ \frac1x+\frac2x=1\ \Longrightarrow\ x=3,\quad y=\frac16$
$x=3>0,\quad y=\frac16>0,\quad \frac13+4\cdot\frac16=1$
$x+\frac1y=3+6=9$
$t=\frac1y\ \Longrightarrow\ y=\frac1t,\quad 4y=\frac4t$
$y>0\ \Longrightarrow\ t>0$
新目标 $x+t$ 的两项都是一次，新条件 $\frac1x+\frac4t$ 的两项都是负一次。
目标为正一次，条件表达式为负一次，相乘可配成零次齐次式。
$\frac1x+\frac4t=1$，乘入这个定值可以保持原式的值不变。
$x+t=(x+t)\left(\frac1x+\frac4t\right)$
$=1+\frac{4x}t+\frac tx+4$
$=5+\frac{4x}t+\frac tx$
$x,t>0\ \Longrightarrow\ \frac{4x}t>0,\quad\frac tx>0$
$\frac{4x}t\cdot\frac tx=4$
两项的积固定，要求和的最小值；原式还包含常数 $5$。
$\frac{4x}t+\frac tx\ge2\sqrt{\frac{4x}t\cdot\frac tx}=4$
$x+t=5+\frac{4x}t+\frac tx\ge5+4=9$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$\frac{4x}t=\frac tx\ \Longrightarrow\ t^2=4x^2$
$x,t>0\ \Longrightarrow\ t=2x$
$t=2x,\quad \frac1x+\frac4t=1\ \Longrightarrow\ \frac3x=1\ \Longrightarrow\ x=3,\quad t=6$
$t=6>0$，在换元后的范围内；$y=\frac1t=\frac16$。
$x=3>0,\quad y=\frac16>0,\quad \frac13+4\cdot\frac16=1$
$x+\frac1y=3+6=9$
当 $x=3,\ y=\frac16$ 时取到。
$\left(x+\frac1y\right)\cdot\left(\frac1x+y\right)$
$=2+xy+\frac1{xy}$
$xy\cdot\frac1{xy}=1$
$\frac1x+y=1-3y<1$
乘数小于 $1$，所选部分为正，因此改写后的值小于原式，不等价。
展开后的两个非常数项积为定值，但这不是原式的等价改写。
$\left(x+\frac1y\right)\cdot\left(1\right)$
$=x+\frac1y$
$x\cdot\frac1y=\frac xy$
乘入常数 $1$，与原式等价。
表达式没有改变，两项的积仍不是定值，尚未达成本步目标。
$x\cdot\left(\frac1x+4y\right)+\frac1y$
$=1+4xy+\frac1y$
$4xy\cdot\frac1y=4x$
乘入的表达式等于 $1$，与原式等价。
剩余两个非常数项的积仍随变量变化，尚未达成本步目标。
$x\cdot\left(\frac1x+y\right)+\frac1y$
$=1+xy+\frac1y$
$xy\cdot\frac1y=x$
$\frac1x+y=1-3y<1$
乘数小于 $1$，所选部分为正，因此改写后的值小于原式，不等价。
剩余两个非常数项的积仍随变量变化，尚未达成本步目标。
$x\cdot\left(1\right)+\frac1y$
$=x+\frac1y$
$x\cdot\frac1y=\frac xy$
乘入常数 $1$，与原式等价。
表达式没有改变，两项的积仍不是定值，尚未达成本步目标。
$x+\frac1y\cdot\left(\frac1x+4y\right)$
$=x+\frac1{xy}+4$
$x\cdot\frac1{xy}=\frac1y$
乘入的表达式等于 $1$，与原式等价。
剩余两个非常数项的积仍随变量变化，尚未达成本步目标。
$x+\frac1y\cdot\left(\frac1x+y\right)$
$=x+\frac1{xy}+1$
$x\cdot\frac1{xy}=\frac1y$
$\frac1x+y=1-3y<1$
乘数小于 $1$，所选部分为正，因此改写后的值小于原式，不等价。
剩余两个非常数项的积仍随变量变化，尚未达成本步目标。
$x+\frac1y\cdot\left(1\right)$
$=x+\frac1y$
$x\cdot\frac1y=\frac xy$
乘入常数 $1$，与原式等价。
表达式没有改变，两项的积仍不是定值，尚未达成本步目标。
$\left(x+t\right)\cdot\left(\frac1x+\frac1t\right)$
$=2+\frac xt+\frac tx$
$\frac xt\cdot\frac tx=1$
$\frac1x+\frac1t=1-\frac3t<1$
乘数小于 $1$，所选部分为正，因此改写后的值小于原式，不等价。
展开后是零次齐次式，但这不是原式的等价改写。
$\left(x+t\right)\cdot\left(1\right)$
$=x+t$
$x\cdot t=xt$
乘入常数 $1$，与原式等价。
表达式没有改变，仍为正一次，尚未配成零次齐次式。
$x\cdot\left(\frac1x+\frac4t\right)+t$
$=1+\frac{4x}t+t$
常数 $1$ 是零次；$\frac xt$ 的次数为 $1-1=0$；$t$ 是一次。
乘入的表达式等于 $1$，与原式等价。
零次项与一次项混合，尚未配成零次齐次式。
$x\cdot\left(\frac1x+\frac1t\right)+t$
$=1+\frac{x}t+t$
$\frac1x+\frac1t=1-\frac3t<1$
常数 $1$ 是零次；$\frac xt$ 的次数为 $1-1=0$；$t$ 是一次。
乘数小于 $1$，所选部分为正，因此改写后的值小于原式，不等价。
零次项与一次项混合，尚未配成零次齐次式。
$x\cdot\left(1\right)+t$
$=x+t$
$x\cdot t=xt$
乘入常数 $1$，与原式等价。
表达式没有改变，仍为正一次，尚未配成零次齐次式。
$x+t\cdot\left(\frac1x+\frac4t\right)$
$=x+\frac tx+4$
$x$ 是一次；$\frac tx$ 的次数为 $1-1=0$；常数 $4$ 是零次。
乘入的表达式等于 $1$，与原式等价。
零次项与一次项混合，尚未配成零次齐次式。
$x+t\cdot\left(\frac1x+\frac1t\right)$
$=x+\frac tx+1$
$\frac1x+\frac1t=1-\frac3t<1$
$x$ 是一次；$\frac tx$ 的次数为 $1-1=0$；常数 $1$ 是零次。
乘数小于 $1$，所选部分为正，因此改写后的值小于原式，不等价。
零次项与一次项混合，尚未配成零次齐次式。
$x+t\cdot\left(1\right)$
$=x+t$
$x\cdot t=xt$
乘入常数 $1$，与原式等价。
表达式没有改变，仍为正一次，尚未配成零次齐次式。