原题
已知 $a>0,\ b>0,\ a+b=1$，则 $\frac{b+1}a+\frac{a+1}b$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $a,b>0$，$a+b=1$
- 目标
- $\left(\frac{b+1}a+\frac{a+1}b\right)_{\min}$
已知 $a>0,\ b>0,\ a+b=1$，则 $\frac{b+1}a+\frac{a+1}b$ 的最小值为？
第一组零次，第二组负一次，两组次数不同，目标不是齐次式。
条件表达式 $a+b$ 是正一次，且 $a+b=1$；只给第二组乘上它，次数 $(-1)+(+1)=0$，与第一组同为零次。
$\left(\frac1a+\frac1b\right)(a+b)=1+\frac ba+\frac ab+1=2+\frac ba+\frac ab$，相当于把原分子中的 $1$ 换成 $a+b$
$\frac{b+1}a+\frac{a+1}b=\frac ba+\frac ab+2+\frac ba+\frac ab=2+\frac{2b}a+\frac{2a}b$
$\left(\frac ba+\frac ab+\frac1a+\frac1b\right)\cdot (a+b)$
$=a+b+\frac{b^2}a+\frac{a^2}b+2+\frac ba+\frac ab$
$a$ 是一次；$\frac{b^2}a$ 的次数为 $2-1=1$；常数 $2$ 是零次，$\frac ba$ 的次数为 $1-1=0$。
乘入的表达式 $a+b=1$，与原式等价。
展开后同时有一次项和零次项，尚未配成零次齐次式。
$\left(\frac ba+\frac ab+\frac1a+\frac1b\right)\cdot a$
$=b+\frac{a^2}b+1+\frac ab$
$0<a=1-b<1$
$b$ 是一次；$\frac{a^2}b$ 的次数为 $2-1=1$；常数 $1$ 是零次，$\frac ab$ 的次数为 $1-1=0$。
由 $a,b>0$、$a+b=1$ 得 $0<a<1$；所选部分为正，乘 $a$ 后值减小，与原式不等价。
展开后同时有一次项和零次项，尚未配成零次齐次式。
$\left(\frac ba+\frac ab+\frac1a+\frac1b\right)\cdot 1$
$=\frac ba+\frac ab+\frac1a+\frac1b$
$\frac ba$、$\frac ab$ 的次数均为 $1-1=0$；$\frac1a$、$\frac1b$ 的次数均为 $0-1=-1$。
乘入常数 $1$，与原式等价。
表达式未改变，零次项与负一次项混合，尚未配成零次齐次式。
$\left(\frac ba+\frac ab\right)\cdot (a+b)+\left(\frac1a+\frac1b\right)$
$=a+b+\frac{b^2}a+\frac{a^2}b+\frac1a+\frac1b$
$a$ 是一次；$\frac{b^2}a$ 的次数为 $2-1=1$；$\frac1a$ 的次数为 $0-1=-1$。
乘入的表达式 $a+b=1$，与原式等价。
第一组变成一次，第二组仍为负一次，尚未配成零次齐次式。
$\left(\frac ba+\frac ab\right)\cdot a+\left(\frac1a+\frac1b\right)$
$=b+\frac{a^2}b+\frac1a+\frac1b$
$0<a=1-b<1$
$b$ 是一次；$\frac{a^2}b$ 的次数为 $2-1=1$；$\frac1a$ 的次数为 $0-1=-1$。
由 $a,b>0$、$a+b=1$ 得 $0<a<1$；所选部分为正，乘 $a$ 后值减小，与原式不等价。
第一组变成一次，第二组仍为负一次，尚未配成零次齐次式。
$\left(\frac ba+\frac ab\right)\cdot 1+\left(\frac1a+\frac1b\right)$
$=\frac ba+\frac ab+\frac1a+\frac1b$
$\frac ba$、$\frac ab$ 的次数均为 $1-1=0$；$\frac1a$、$\frac1b$ 的次数均为 $0-1=-1$。
乘入常数 $1$，与原式等价。
表达式未改变，零次项与负一次项混合，尚未配成零次齐次式。
$\left(\frac ba+\frac ab\right)+\left(\frac1a+\frac1b\right)\cdot a$
$=\frac ba+\frac{2a}b+1$
$0<a=1-b<1$
$\frac ba$、$\frac{2a}b$ 的次数均为 $1-1=0$，数字系数 $2$ 不计入次数；常数 $1$ 是零次。
由 $a,b>0$、$a+b=1$ 得 $0<a<1$；所选部分为正，乘 $a$ 后值减小，与原式不等价。
展开后各项都是零次，但这不是原式的等价改写。
$\left(\frac ba+\frac ab\right)+\left(\frac1a+\frac1b\right)\cdot 1$
$=\frac ba+\frac ab+\frac1a+\frac1b$
$\frac ba$、$\frac ab$ 的次数均为 $1-1=0$；$\frac1a$、$\frac1b$ 的次数均为 $0-1=-1$。
乘入常数 $1$，与原式等价。
表达式未改变，零次项与负一次项混合，尚未配成零次齐次式。
$a,b>0\ \Longrightarrow\ \frac{2b}a>0,\quad\frac{2a}b>0$
$\frac{2b}a\cdot\frac{2a}b=4$
两项的积固定，要求和的最小值；原式还包含常数 $2$。
$\frac{2b}a+\frac{2a}b\ge2\sqrt{\frac{2b}a\cdot\frac{2a}b}=4$
$\frac{b+1}a+\frac{a+1}b=2+\frac{2b}a+\frac{2a}b\ge2+4=6$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$\frac{2b}a=\frac{2a}b\ \Longrightarrow\ a^2=b^2$
$a,b>0\ \Longrightarrow\ a=b$
$a=b,\quad a+b=1\ \Longrightarrow\ a=b=\frac12$
$a=b=\frac12>0,\quad a+b=1$
$\frac{b+1}a+\frac{a+1}b=3+3=6$
当 $a=b=\frac12$ 时取到。