原题
已知 $x>0,\ y>0$，且 $x+2y+xy-7=0$，则 $x+y$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x,y>0$，$x+2y+xy-7=0$
- 目标
- $(x+y)_{\min}$
已知 $x>0,\ y>0$，且 $x+2y+xy-7=0$，则 $x+y$ 的最小值为？
$x+xy=7-2y\ \Longrightarrow\ x(1+y)=7-2y$
$y>0\ \Longrightarrow\ y+1>0$，两边除以 $y+1$。
$x+xy=x(1+y)$，含 $x$ 的项有两个，不能只保留 $xy$。
把 $2y$、$-7$ 移到右边要变号：$x+xy=7-2y$，右边不是 $7+2y$。
$x(1+y)=7-2y,\quad y+1>0\ \Longrightarrow\ x=\frac{7-2y}{y+1}$
$x>0\ \Longrightarrow\ 7-2y>0\ \Longrightarrow\ 0<y<\frac72$
$x+y=\frac{7-2y}{y+1}+y$
$-2(y+1)-2=-2y-4$
$-2y-4\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $-2$，与原式的 $-2$ 一致。
常数项是 $-4$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$-2(y+1)+2=-2y$
$-2y\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $-2$，与原式的 $-2$ 一致。
常数项是 $0$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$-2(y+1)+5=-2y+3$
$-2y+3\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $-2$，与原式的 $-2$ 一致。
常数项是 $3$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$-2(y+1)+7=-2y+5$
$-2y+5\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $-2$，与原式的 $-2$ 一致。
常数项是 $5$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$2(y+1)-2=2y$
$2y\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $2$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $0$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$2(y+1)+2=2y+4$
$2y+4\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $2$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $4$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$2(y+1)+5=2y+7$
$2y+7\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $2$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $7$，与原式的 $7$ 一致。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$2(y+1)+7=2y+9$
$2y+9\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $2$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $9$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$2(y+1)+9=2y+11$
$2y+11\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $2$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $11$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$5(y+1)-2=5y+3$
$5y+3\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $5$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $3$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$5(y+1)+2=5y+7$
$5y+7\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $5$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $7$，与原式的 $7$ 一致。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$5(y+1)+5=5y+10$
$5y+10\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $5$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $10$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$5(y+1)+7=5y+12$
$5y+12\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $5$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $12$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$5(y+1)+9=5y+14$
$5y+14\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $5$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $14$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$7(y+1)-2=7y+5$
$7y+5\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $7$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $5$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$7(y+1)+2=7y+9$
$7y+9\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $7$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $9$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$7(y+1)+5=7y+12$
$7y+12\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $7$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $12$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$7(y+1)+7=7y+14$
$7y+14\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $7$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $14$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$7(y+1)+9=7y+16$
$7y+16\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $7$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $16$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$9(y+1)-2=9y+7$
$9y+7\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $9$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $7$，与原式的 $7$ 一致。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$9(y+1)+2=9y+11$
$9y+11\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $9$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $11$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$9(y+1)+5=9y+14$
$9y+14\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $9$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $14$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$9(y+1)+7=9y+16$
$9y+16\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $9$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $16$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$9(y+1)+9=9y+18$
$9y+18\not\equiv 7-2y$
$y$ 的系数是 $9$，与原式的 $-2$ 不同。
常数项是 $18$，与原式的 $7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数或常数。
$-2(y+1)+9=-2y-2+9=7-2y$
$\frac{7-2y}{y+1}=\frac{-2(y+1)+9}{y+1}=-2+\frac9{y+1}$
$x+y=y+\frac9{y+1}-2$
$(y+1)+\frac9{y+1}-3=y+\frac9{y+1}-2$
$(y+1)\cdot\frac9{y+1}=9$，积固定。
$y\cdot\frac9{y+1}=\frac{9y}{y+1}$，随 $y$ 变化，积不固定。
$(y+1)+\frac9{y+1}-1=y+\frac9{y+1}$
比原式多了 $2$，与原式不等价。
$y=(y+1)-1\ \Longrightarrow\ y+\frac9{y+1}-2=(y+1)+\frac9{y+1}-3$
$y>0\ \Longrightarrow\ y+1>0,\quad\frac9{y+1}>0$
$(y+1)\cdot\frac9{y+1}=9$
两个正项的积固定，求和的最小值。常数 $-3$ 留在外面，最后加回。
$(y+1)+\frac9{y+1}\ge2\sqrt{(y+1)\cdot\frac9{y+1}}=6$
$x+y=(y+1)+\frac9{y+1}-3\ge6-3=3$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$y+1=\frac9{y+1}\ \Longrightarrow\ (y+1)^2=9$
$y+1>0\ \Longrightarrow\ y+1=3\ \Longrightarrow\ y=2$
$0<2<\frac72$，在范围内；$x=\frac{7-4}{3}=1$
$x=1>0,\ y=2>0,\quad 1+4+2-7=0$
$x+y=3$
当 $x=1,\ y=2$ 时取到。