原题
已知 $5m^2n^2+n^4=1$，则 $m^2+n^2$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $5m^2n^2+n^4=1$
- 目标
- $(m^2+n^2)_{\min}$
已知 $5m^2n^2+n^4=1$，则 $m^2+n^2$ 的最小值为？
$5m^2n^2=1-n^4$
$n=0$ 时条件变成 $0=1$，所以 $n\ne0$，两边可以除以 $5n^2$。
$5m^2n^2$ 除以 $n^2$ 得 $5m^2$，还要再除以 $5$。
把 $n^4$ 移到右边要变号：$5m^2n^2=1-n^4$，右边不是 $1+n^4$。
$n=0$ 时条件为 $0=1$，不成立，所以 $n\ne0$，$n^2>0$
由 $m^2\ge0$ 得 $1-n^4\ge0$，即 ${0<n^2\le1}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2$
把 $m^2$ 看成整体 $u$，条件成为 $5n^2u+n^4=1$，关于 $u$ 是一次方程，所以先消去这个整体更方便。若把 $n^2$ 看成整体 $v$，则为 $v^2+5m^2v=1$，需要解关于 $v$ 的二次方程。
$\frac1{5n^2}+\frac{n^2}5=\frac{1+n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{1+n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $1$，与原式的 $1$ 一致。
分子 $n^4$ 的系数是 $1$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac1{5n^2}-\frac{n^2}5=\frac{1-n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{1-n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $1$，与原式的 $1$ 一致。
分子 $n^4$ 的系数是 $-1$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac1{5n^2}+\frac{6n^2}5=\frac{1+6n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{1+6n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $1$，与原式的 $1$ 一致。
分子 $n^4$ 的系数是 $6$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac1{5n^2}+n^2=\frac{1+5n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{1+5n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $1$，与原式的 $1$ 一致。
分子 $n^4$ 的系数是 $5$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$-\frac1{5n^2}+\frac{n^2}5=\frac{-1+n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{-1+n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $-1$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $1$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$-\frac1{5n^2}-\frac{n^2}5=\frac{-1-n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{-1-n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $-1$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $-1$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$-\frac1{5n^2}+\frac{4n^2}5=\frac{-1+4n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{-1+4n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $-1$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $4$，与原式的 $4$ 一致。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$-\frac1{5n^2}+\frac{6n^2}5=\frac{-1+6n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{-1+6n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $-1$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $6$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$-\frac1{5n^2}+n^2=\frac{-1+5n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{-1+5n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $-1$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $5$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac4{5n^2}+\frac{n^2}5=\frac{4+n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{4+n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $4$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $1$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac4{5n^2}-\frac{n^2}5=\frac{4-n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{4-n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $4$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $-1$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac4{5n^2}+\frac{4n^2}5=\frac{4+4n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{4+4n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $4$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $4$，与原式的 $4$ 一致。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac4{5n^2}+\frac{6n^2}5=\frac{4+6n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{4+6n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $4$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $6$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac4{5n^2}+n^2=\frac{4+5n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{4+5n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $4$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $5$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac6{5n^2}+\frac{n^2}5=\frac{6+n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{6+n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $6$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $1$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac6{5n^2}-\frac{n^2}5=\frac{6-n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{6-n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $6$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $-1$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac6{5n^2}+\frac{4n^2}5=\frac{6+4n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{6+4n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $6$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $4$，与原式的 $4$ 一致。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac6{5n^2}+\frac{6n^2}5=\frac{6+6n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{6+6n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $6$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $6$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac6{5n^2}+n^2=\frac{6+5n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{6+5n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $6$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $5$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac1{n^2}+\frac{n^2}5=\frac{5+n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{5+n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $5$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $1$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac1{n^2}-\frac{n^2}5=\frac{5-n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{5-n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $5$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $-1$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac1{n^2}+\frac{4n^2}5=\frac{5+4n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{5+4n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $5$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $4$，与原式的 $4$ 一致。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac1{n^2}+\frac{6n^2}5=\frac{5+6n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{5+6n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $5$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $6$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac1{n^2}+n^2=\frac{5+5n^4}{5n^2}$
$m^2+n^2=\frac{1-n^4}{5n^2}+n^2=\frac{1+4n^4}{5n^2}$
$\frac{5+5n^4}{5n^2}\not\equiv\frac{1+4n^4}{5n^2}$
分子常数项是 $5$，与原式的 $1$ 不同。
分子 $n^4$ 的系数是 $5$，与原式的 $4$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的系数。
$\frac{1-n^4}{5n^2}=\frac1{5n^2}-\frac{n^4}{5n^2}=\frac1{5n^2}-\frac{n^2}5$
$m^2+n^2=\frac1{5n^2}-\frac{n^2}5+n^2=\frac1{5n^2}+\frac{4n^2}5$
两项的积 $\frac1{5n^2}\cdot\frac{4n^2}5=\frac4{25}$ 已经固定，不需要再凑配。
由 $n^2>0$ 得 $\frac1{5n^2}>0$，$\frac{4n^2}5>0$
$\frac1{5n^2}\cdot\frac{4n^2}5=\frac4{25}$
两个正项的积固定，求和的最小值。
$\frac1{5n^2}+\frac{4n^2}5\ge2\sqrt{\frac1{5n^2}\cdot\frac{4n^2}5}=2\sqrt{\frac4{25}}=\frac45$
$m^2+n^2\ge\frac45$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
由 $\frac1{5n^2}=\frac{4n^2}5$ 得 $n^4=\frac14$
又 $n^2>0$，所以 $n^2=\frac12$，在 ${0<n^2\le1}$ 内
$m^2=\frac{1-\frac14}{5\cdot\frac12}=\frac3{10}\ge0$
$5\cdot\frac3{10}\cdot\frac12+\frac14=\frac34+\frac14=1$
$m^2+n^2=\frac3{10}+\frac12=\frac45$
当 $n^2=\frac12,\ m^2=\frac3{10}$ 时取到。