原题
已知正数 $a,b$ 满足 $2ab+2a+b=3$，则 $\frac1{2a+1}+\frac1b$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $a,b>0$，$2ab+2a+b=3$
- 目标
- $\left(\frac1{2a+1}+\frac1b\right)_{\min}$
已知正数 $a,b$ 满足 $2ab+2a+b=3$，则 $\frac1{2a+1}+\frac1b$ 的最小值为？
$(2a+1)(b+1)=2ab+2a+b+1$
$=3+1=4\ne 2$
展开后比条件表达式多 $1$，乘积的值也应比 $3$ 多 $1$。请核对你填写的 $2$。
$(2a+1)(b+1)=2ab+2a+b+1$
$=3+1=4\ne 3$
展开后比条件表达式多 $1$，乘积的值也应比 $3$ 多 $1$。请核对你填写的 $3$。
$(2a+1)(b+1)=2ab+2a+b+1$
$=3+1=4\ne 5$
展开后比条件表达式多 $1$，乘积的值也应比 $3$ 多 $1$。请核对你填写的 $5$。
$(2a+1)(b+1)=2ab+2a+b+1$
$=3+1=4\ne 6$
展开后比条件表达式多 $1$，乘积的值也应比 $3$ 多 $1$。请核对你填写的 $6$。
$(2a+1)(b+1)=2ab+2a+b+1$
由条件 $2ab+2a+b=3$，得 ${(2a+1)(b+1)=3+1=4}$
条件左边加 $1$，恰好配成两个一次因式的积；目标里的 $2a+1$ 正是其中一个因式。
$b+1>0$，所以 $2a+1=\frac4{b+1}$
取倒数：$\frac1{2a+1}=\frac{b+1}4$
由 $(2a+1)(b+1)=4$ 得 $2a+1=\frac4{b+1}$，这是 $2a+1$ 本身；目标里要的是 $\frac1{2a+1}$。
配因式后乘积是 $4$：$(2a+1)(b+1)=4$，不是原条件右边的 $3$。
由 $a>0$ 得 $2a+1>1$，所以 ${b+1=\frac4{2a+1}<4}$；又 $b>0$，所以 ${0<b<3}$
$\frac1{2a+1}+\frac1b=\frac{b+1}4+\frac1b$
$=\frac b4+\frac1b+\frac14$
目标中 $a$ 只以整体 $2a+1$ 出现，用 $b$ 表示这个整体即可，不必解出 $a$。若反过来保留 $a$，会得到 ${\frac1{2a+1}+\frac{2a+1}{3-2a}}$，不便配成定积。
由 $b>0$ 得 $\frac b4>0$，$\frac1b>0$
$\frac b4\cdot\frac1b=\frac14$
两个正项的积固定，求和的最小值；常数 $\frac14$ 不参与，最后再加。
$\frac b4+\frac1b\ge2\sqrt{\frac b4\cdot\frac1b}=2\sqrt{\frac14}=1$
$\frac1{2a+1}+\frac1b=\frac b4+\frac1b+\frac14\ge\frac54$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
由 $\frac b4=\frac1b$ 得 $b^2=4$
又 $b>0$，所以 $b=2$，在 ${0<b<3}$ 内
$2a+1=\frac4{b+1}=\frac43$，所以 $a=\frac16>0$
$2\cdot\frac16\cdot2+2\cdot\frac16+2=\frac23+\frac13+2=3$
$\frac1{2a+1}+\frac1b=\frac34+\frac12=\frac54$
当 $a=\frac16,\ b=2$ 时取到。