原题
已知 $m>2,\ n>1$，且 $3m+3n=mn+7$，则 $m+2n$ 的最小值为？
题意整理
根据原题转写- 条件
- $m>2,\ n>1$，$3m+3n=mn+7$
- 目标
- $(m+2n)_{\min}$
已知 $m>2,\ n>1$，且 $3m+3n=mn+7$，则 $m+2n$ 的最小值为？
移项：$mn-3m=3n-7$，即 $m(n-3)=3n-7$
$n=3$ 时条件变成 $9=7$，不成立，所以可以除以 $n-3$。
把 $7$ 移到左边要变号：$mn-3m=3n-7$，分子是 $3n-7$，不是 $3n+7$。
由 $m(n-3)=3n-7$ 得 $m=\frac{3n-7}{n-3}$；$\frac{3n-7}{3-n}$ 只改了分母的符号，等于 $-\frac{3n-7}{n-3}$。
$n=3$ 时条件为 $9=7$，不成立，所以 $n\ne3$
$m+2n=\frac{3n-7}{n-3}+2n$
条件中 $m$、$n$ 都是一次，消哪个都可以；本页消去 $m$，保留 $n$。
$-7(n-3)-7=-7n+14$
$-7n+14\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $-7$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $14$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$-7(n-3)-2=-7n+19$
$-7n+19\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $-7$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $19$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$-7(n-3)+2=-7n+23$
$-7n+23\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $-7$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $23$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$-7(n-3)+3=-7n+24$
$-7n+24\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $-7$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $24$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$-7(n-3)+7=-7n+28$
$-7n+28\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $-7$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $28$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$-2(n-3)-7=-2n-1$
$-2n-1\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $-2$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $-1$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$-2(n-3)-2=-2n+4$
$-2n+4\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $-2$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $4$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$-2(n-3)+2=-2n+8$
$-2n+8\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $-2$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $8$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$-2(n-3)+3=-2n+9$
$-2n+9\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $-2$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $9$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$-2(n-3)+7=-2n+13$
$-2n+13\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $-2$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $13$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$2(n-3)-7=2n-13$
$2n-13\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $2$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $-13$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$2(n-3)-2=2n-8$
$2n-8\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $2$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $-8$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$2(n-3)+2=2n-4$
$2n-4\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $2$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $-4$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$2(n-3)+3=2n-3$
$2n-3\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $2$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $-3$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$2(n-3)+7=2n+1$
$2n+1\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $2$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $1$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$3(n-3)-7=3n-16$
$3n-16\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $3$，与原式的 $3$ 一致。
常数项是 $-16$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$3(n-3)-2=3n-11$
$3n-11\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $3$，与原式的 $3$ 一致。
常数项是 $-11$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$3(n-3)+3=3n-6$
$3n-6\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $3$，与原式的 $3$ 一致。
常数项是 $-6$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$3(n-3)+7=3n-2$
$3n-2\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $3$，与原式的 $3$ 一致。
常数项是 $-2$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$7(n-3)-7=7n-28$
$7n-28\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $7$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $-28$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$7(n-3)-2=7n-23$
$7n-23\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $7$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $-23$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$7(n-3)+2=7n-19$
$7n-19\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $7$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $-19$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$7(n-3)+3=7n-18$
$7n-18\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $7$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $-18$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$7(n-3)+7=7n-14$
$7n-14\not\equiv 3n-7$
$n$ 的系数是 $7$，与原式的 $3$ 不同。
常数项是 $-14$，与原式的 $-7$ 不同。
本步需要恒等改写，请调整不匹配的倍数或常数。
$3(n-3)+2=3n-9+2=3n-7$
$m=\frac{3(n-3)+2}{n-3}=3+\frac2{n-3}$
$m+2n=2n+\frac2{n-3}+3$
$2(n-3)+\frac2{n-3}+9=2n+\frac2{n-3}+3$
$2(n-3)\cdot\frac2{n-3}=4$，积固定。
$2n\cdot\frac2{n-3}=\frac{4n}{n-3}$，随 $n$ 变化，积不固定。
$2(n-3)+\frac2{n-3}+3=2n+\frac2{n-3}-3$
比原式少了 $6$，与原式不等价。
由 $2n=2(n-3)+6$ 得 ${2n+\frac2{n-3}+3=2(n-3)+\frac2{n-3}+9}$
两项的积 $2(n-3)\cdot\frac2{n-3}=4$ 已经固定；用基本不等式前还要确认两项为正。
$m-2=\frac{3n-7}{n-3}-2=\frac{n-1}{n-3}$
由 $m>2$ 得 $\frac{n-1}{n-3}>0$；又 $n>1$，分子为正，所以 $n-3>0$，即 $n>3$。
$n>1$ 时 $n-3$ 可正可负。例如 $n=2$，两项都为负；但此时 $m=\frac{6-7}{2-3}=1$，与 $m>2$ 矛盾。
还有条件 $m>2$ 没有用上；把 $m=\frac{3n-7}{n-3}$ 代入，看看它对 $n$ 有什么限制。
$m-2=\frac{3n-7}{n-3}-2=\frac{n-1}{n-3}>0$
又 $n-1>0$，所以 $n-3>0$，即 ${n>3}$
反过来，$n>3$ 时两个条件都满足：${m=3+\frac2{n-3}>3>2}$
由 $n>3$，两项都为正
$2(n-3)\cdot\frac2{n-3}=4$
两个正项的积固定，求和的最小值；常数 $9$ 不参与，最后再加。
$2(n-3)+\frac2{n-3}\ge2\sqrt{2(n-3)\cdot\frac2{n-3}}=2\sqrt4=4$
$m+2n\ge4+9=13$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
由 $2(n-3)=\frac2{n-3}$ 得 $(n-3)^2=1$
又 $n>3$，所以 $n-3=1$，$n=4$（$n=2$ 舍去）
$m=3+\frac21=5>2$
$3\cdot5+3\cdot4=27$，$5\cdot4+7=27$
$m+2n=5+8=13$
当 $m=5,\ n=4$ 时取到。