原题
已知 $a>0,\ b>0$，若 ${\frac1{4a+b}+\frac1{a+2b}=3}$，求 $5a+3b$ 的最小值。
题意整理
根据原题转写- 条件
- $a>0,\quad b>0,\quad$ ${\frac1{4a+b}+\frac1{a+2b}=3}$
- 目标
- $(5a+3b)_{\min}$
已知 $a>0,\ b>0$，若 ${\frac1{4a+b}+\frac1{a+2b}=3}$，求 $5a+3b$ 的最小值。
${x=4a+b,\ y=a+2b}\ \Longrightarrow\ {\frac1x+\frac1y=3}$
$a>0,\ b>0\ \Longrightarrow\ x>0,\ y>0$
条件只剩 $x,y$；接下来把目标 $5a+3b$ 也用 $x,y$ 表示。
$(4a+b)+(a+2b)=5a+3b$
$5a+3b=x+y$
问题化为：$x,y>0$，$\frac1x+\frac1y=3$，求 $x+y$ 的最小值。
$(4a+b)+2(a+2b)=6a+5b$
$6a+5b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $6$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $5$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$(4a+b)+3(a+2b)=7a+7b$
$7a+7b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $7$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $7$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$(4a+b)+4(a+2b)=8a+9b$
$8a+9b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $8$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $9$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$(4a+b)+5(a+2b)=9a+11b$
$9a+11b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $9$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $11$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$2(4a+b)+(a+2b)=9a+4b$
$9a+4b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $9$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $4$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$2(4a+b)+2(a+2b)=10a+6b$
$10a+6b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $10$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $6$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$2(4a+b)+3(a+2b)=11a+8b$
$11a+8b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $11$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $8$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$2(4a+b)+4(a+2b)=12a+10b$
$12a+10b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $12$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $10$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$2(4a+b)+5(a+2b)=13a+12b$
$13a+12b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $13$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $12$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$3(4a+b)+(a+2b)=13a+5b$
$13a+5b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $13$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $5$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$3(4a+b)+2(a+2b)=14a+7b$
$14a+7b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $14$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $7$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$3(4a+b)+3(a+2b)=15a+9b$
$15a+9b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $15$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $9$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$3(4a+b)+4(a+2b)=16a+11b$
$16a+11b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $16$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $11$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$3(4a+b)+5(a+2b)=17a+13b$
$17a+13b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $17$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $13$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$4(4a+b)+(a+2b)=17a+6b$
$17a+6b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $17$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $6$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$4(4a+b)+2(a+2b)=18a+8b$
$18a+8b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $18$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $8$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$4(4a+b)+3(a+2b)=19a+10b$
$19a+10b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $19$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $10$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$4(4a+b)+4(a+2b)=20a+12b$
$20a+12b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $20$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $12$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$4(4a+b)+5(a+2b)=21a+14b$
$21a+14b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $21$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $14$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$5(4a+b)+(a+2b)=21a+7b$
$21a+7b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $21$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $7$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$5(4a+b)+2(a+2b)=22a+9b$
$22a+9b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $22$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $9$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$5(4a+b)+3(a+2b)=23a+11b$
$23a+11b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $23$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $11$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$5(4a+b)+4(a+2b)=24a+13b$
$24a+13b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $24$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $13$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
$5(4a+b)+5(a+2b)=25a+15b$
$25a+15b\not\equiv 5a+3b$
$a$ 的系数是 $25$，与目标的 $5$ 不同。
$b$ 的系数是 $15$，与目标的 $3$ 不同。
本步需要恒等表示，请调整不匹配的系数。
目标为正一次，条件表达式为负一次，相乘可配成零次齐次式。
$\frac1x+\frac1y=3$，所以 $\frac13\left(\frac1x+\frac1y\right)=1$，乘入它可以保持原式的值不变。
$(x+y)\cdot \left(\frac1x+\frac1y\right)$
$=2+\frac yx+\frac xy$
条件表达式等于 $3$，整体乘入后为 $3(x+y)$，是原式的 $3$ 倍，不等价。
展开后的常数与比值项均为零次，但没有保持原式的值。
$(x+y)\cdot 1$
$=x+y$
乘入常数 $1$，改写前后值不变。
仍为 $x+y$，两项都是正一次，尚未配成零次齐次式。
$x\cdot \frac13\left(\frac1x+\frac1y\right)+y$
$=\frac13+\frac{x}{3y}+y$
乘入的表达式等于 $1$，改写前后值不变。
常数与比值项是零次，未乘入的 $y$ 是正一次，整体不是零次齐次式。
$x\cdot \left(\frac1x+\frac1y\right)+y$
$=1+\frac xy+y$
条件表达式等于 $3$，只乘第一项后为 $3x+y$，比原式多 $2x$，不等价。
常数与比值项是零次，未乘入的 $y$ 是正一次，整体不是零次齐次式。
$x\cdot 1+y$
$=x+y$
乘入常数 $1$，改写前后值不变。
仍为 $x+y$，两项都是正一次，尚未配成零次齐次式。
$x+y\cdot \frac13\left(\frac1x+\frac1y\right)$
$=x+\frac{y}{3x}+\frac13$
乘入的表达式等于 $1$，改写前后值不变。
常数与比值项是零次，未乘入的 $x$ 是正一次，整体不是零次齐次式。
$x+y\cdot \left(\frac1x+\frac1y\right)$
$=x+\frac yx+1$
条件表达式等于 $3$，只乘第二项后为 $x+3y$，比原式多 $2y$，不等价。
常数与比值项是零次，未乘入的 $x$ 是正一次，整体不是零次齐次式。
$x+y\cdot 1$
$=x+y$
乘入常数 $1$，改写前后值不变。
仍为 $x+y$，两项都是正一次，尚未配成零次齐次式。
${x+y=(x+y)\cdot\frac13\left(\frac1x+\frac1y\right)}$
$=\frac13\left(1+\frac yx+\frac xy+1\right)$
$=\frac23+\frac13\left(\frac yx+\frac xy\right)$
$x>0,\ y>0\ \Longrightarrow\ \frac{y}{x}>0,\quad\frac{x}{y}>0$
$\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}=1$
两项的积固定，要求和的最小值；原式是 $\frac23+\frac13(\cdots)$，系数 $\frac13$ 为正，和最小时原式也最小。
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}}=2$
$5a+3b=\frac23+\frac13\left(\frac yx+\frac xy\right)$
$\ge\frac23+\frac23=\frac43$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$\frac{y}{x}=\frac{x}{y}\ \Longrightarrow\ x^2=y^2$
$x,y>0\ \Longrightarrow\ x=y$
$x=y,\quad \frac1x+\frac1y=3\ \Longrightarrow\ x=y=\frac23$
${4a+b=a+2b=\frac23}\ \Longrightarrow\ {b=3a,\ a=\frac2{21},\ b=\frac27}$
$a=\frac2{21}>0,\ b=\frac27>0$，满足原条件。
${5a+3b=\frac{10}{21}+\frac{18}{21}=\frac43}$
由 $a=\frac{2x-y}7>0$、$b=\frac{4y-x}7>0$，$x,y$ 还需满足 $2x>y$、$4y>x$；取等点 $x=y$ 满足，所以下界能取到。
当 $a=\frac2{21},\ b=\frac27$ 时取到。