原题
已知 $x>0$，求 ${y=\frac{x^2-x+4}{x}}$ 的最小值，以及取得最小值时 $x$ 的值。
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x>0$
- 目标
- $\left(\frac{x^2-x+4}{x}\right)_{\min}$，以及此时的 $x$
已知 $x>0$，求 ${y=\frac{x^2-x+4}{x}}$ 的最小值，以及取得最小值时 $x$ 的值。
${\frac{x^2-x+4}{x}=\frac{x^2}x-\frac xx+\frac4x}$
$y=x-1+\frac4x$
${x\left(x-4-\frac4x\right)}={x^2-4x-4}$
$x^2-4x-4\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $-4$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $-4$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x-4-\frac1x\right)}={x^2-4x-1}$
$x^2-4x-1\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $-4$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $-1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x-4+\frac1x\right)}={x^2-4x+1}$
$x^2-4x+1\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $-4$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x-4+\frac4x\right)}={x^2-4x+4}$
$x^2-4x+4\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $-4$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x-1-\frac4x\right)}={x^2-x-4}$
$x^2-x-4\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $-1$，与分子的 $-1$ 一致。
常数项是 $-4$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x-1-\frac1x\right)}={x^2-x-1}$
$x^2-x-1\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $-1$，与分子的 $-1$ 一致。
常数项是 $-1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x-1+\frac1x\right)}={x^2-x+1}$
$x^2-x+1\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $-1$，与分子的 $-1$ 一致。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x+1-\frac4x\right)}={x^2+x-4}$
$x^2+x-4\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $1$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $-4$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x+1-\frac1x\right)}={x^2+x-1}$
$x^2+x-1\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $1$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $-1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x+1+\frac1x\right)}={x^2+x+1}$
$x^2+x+1\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $1$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x+1+\frac4x\right)}={x^2+x+4}$
$x^2+x+4\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $1$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x+4-\frac4x\right)}={x^2+4x-4}$
$x^2+4x-4\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $-4$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x+4-\frac1x\right)}={x^2+4x-1}$
$x^2+4x-1\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $-1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x+4+\frac1x\right)}={x^2+4x+1}$
$x^2+4x+1\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${x\left(x+4+\frac4x\right)}={x^2+4x+4}$
$x^2+4x+4\not\equiv x^2-x+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $-1$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$x>0\ \Longrightarrow\ x>0,\quad\frac4x>0$
$x\cdot\frac4x=4$
两个正项的积固定，求和的最小值。常数 $-1$ 留在外面，最后加回。
$x+\frac4x\ge2\sqrt{x\cdot\frac4x}=4$
$y=x+\frac4x-1\ge4-1=3$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
$x=\frac4x\ \Longrightarrow\ x^2=4$
$x>0\ \Longrightarrow\ x=2$
${y=\frac{4-2+4}{2}=3}$
$x=2>0$ 满足条件，下界可以取到。
此时 $x=2$。