原题
若函数 ${f(x)=\frac{x^2-2x+4}{x-2}\ (x>2)}$ 在 $x=a$ 处取最小值，求 $a$ 的值。
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x>2$
- 目标
- ${f(x)=\frac{x^2-2x+4}{x-2}}$ 取最小值时的 $x$，即 $a$
若函数 ${f(x)=\frac{x^2-2x+4}{x-2}\ (x>2)}$ 在 $x=a$ 处取最小值，求 $a$ 的值。
$t=x-2\ \Longrightarrow\ x=t+2$
${x^2-2x+4=(t+2)^2-2(t+2)+4}$ ${=t^2+2t+4}$
$x>2\ \Longrightarrow\ t>0$
分母只剩一个 $t$，接下来可以逐项相除。
${\frac{t^2+2t+4}{t}=\frac{t^2}t+\frac{2t}t+\frac4t}$
$f(x)=t+2+\frac4t$
${t\left(t-4-\frac4t\right)}={t^2-4t-4}$
$t^2-4t-4\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $-4$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $-4$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-4-\frac2t\right)}={t^2-4t-2}$
$t^2-4t-2\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $-4$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $-2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-4+\frac2t\right)}={t^2-4t+2}$
$t^2-4t+2\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $-4$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-4+\frac4t\right)}={t^2-4t+4}$
$t^2-4t+4\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $-4$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-2-\frac4t\right)}={t^2-2t-4}$
$t^2-2t-4\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $-2$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $-4$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-2-\frac2t\right)}={t^2-2t-2}$
$t^2-2t-2\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $-2$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $-2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-2+\frac2t\right)}={t^2-2t+2}$
$t^2-2t+2\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $-2$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-2+\frac4t\right)}={t^2-2t+4}$
$t^2-2t+4\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $-2$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+2-\frac4t\right)}={t^2+2t-4}$
$t^2+2t-4\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $2$，与分子的 $2$ 一致。
常数项是 $-4$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+2-\frac2t\right)}={t^2+2t-2}$
$t^2+2t-2\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $2$，与分子的 $2$ 一致。
常数项是 $-2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+2+\frac2t\right)}={t^2+2t+2}$
$t^2+2t+2\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $2$，与分子的 $2$ 一致。
常数项是 $2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+4-\frac4t\right)}={t^2+4t-4}$
$t^2+4t-4\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $-4$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+4-\frac2t\right)}={t^2+4t-2}$
$t^2+4t-2\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $-2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+4+\frac2t\right)}={t^2+4t+2}$
$t^2+4t+2\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+4+\frac4t\right)}={t^2+4t+4}$
$t^2+4t+4\not\equiv t^2+2t+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $2$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$t>0\ \Longrightarrow\ t>0,\quad\frac4t>0$
$t\cdot\frac4t=4$
两个正项的积固定，求和的最小值。常数 $2$ 留在外面，最后加回。
$t+\frac4t\ge2\sqrt{t\cdot\frac4t}=4$
$f(x)=t+\frac4t+2\ge4+2=6$
下界已经得到，还需要检查它在哪里取到。
$t=\frac4t\ \Longrightarrow\ t^2=4$
$t>0\ \Longrightarrow\ t=2$
$x=t+2=4$，满足 $x>2$，所以 $a=4$
${f(4)=\frac{16-8+4}{2}=6}$ 是最小值，不是 $a$。
最小值为 $f(4)=6$。题目问的是取最小值时的 $x$，不是最小值。