原题
当 $x>-1$ 时，求函数 ${y=\frac{x^2+3x+6}{x+1}}$ 的最小值。
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x>-1$
- 目标
- ${y=\frac{x^2+3x+6}{x+1}}$ 的最小值
当 $x>-1$ 时，求函数 ${y=\frac{x^2+3x+6}{x+1}}$ 的最小值。
$t=x+1\ \Longrightarrow\ x=t-1$
${x^2+3x+6=(t-1)^2+3(t-1)+6}$ ${=t^2+t+4}$
$x>-1\ \Longrightarrow\ t>0$
分母只剩一个 $t$，接下来可以逐项相除。
${\frac{t^2+t+4}{t}=\frac{t^2}t+\frac tt+\frac4t}$
$y=t+1+\frac4t$
${t\left(t+1+\frac1t\right)}={t^2+t+1}$
$t^2+t+1\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $1$，与分子的 $1$ 一致。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+1+\frac3t\right)}={t^2+t+3}$
$t^2+t+3\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $1$，与分子的 $1$ 一致。
常数项是 $3$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+1+\frac6t\right)}={t^2+t+6}$
$t^2+t+6\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $1$，与分子的 $1$ 一致。
常数项是 $6$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+3+\frac1t\right)}={t^2+3t+1}$
$t^2+3t+1\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $3$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+3+\frac3t\right)}={t^2+3t+3}$
$t^2+3t+3\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $3$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $3$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+3+\frac4t\right)}={t^2+3t+4}$
$t^2+3t+4\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $3$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+3+\frac6t\right)}={t^2+3t+6}$
$t^2+3t+6\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $3$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $6$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+4+\frac1t\right)}={t^2+4t+1}$
$t^2+4t+1\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+4+\frac3t\right)}={t^2+4t+3}$
$t^2+4t+3\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $3$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+4+\frac4t\right)}={t^2+4t+4}$
$t^2+4t+4\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+4+\frac6t\right)}={t^2+4t+6}$
$t^2+4t+6\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $4$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $6$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+6+\frac1t\right)}={t^2+6t+1}$
$t^2+6t+1\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $6$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+6+\frac3t\right)}={t^2+6t+3}$
$t^2+6t+3\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $6$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $3$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+6+\frac4t\right)}={t^2+6t+4}$
$t^2+6t+4\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $6$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+6+\frac6t\right)}={t^2+6t+6}$
$t^2+6t+6\not\equiv t^2+t+4$
一次项系数是 $6$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $6$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$t>0\ \Longrightarrow\ \frac4t>0$
$t\cdot\frac4t=4$
两个正项的积固定，求和的最小值。常数 $1$ 留在外面，最后加回。
$t+\frac4t\ge2\sqrt{t\cdot\frac4t}=4$
$y=t+\frac4t+1\ge4+1=5$
下界已经得到，还需要检查它在哪里取到。
$t=\frac4t\ \Longrightarrow\ t^2=4$
$t>0\ \Longrightarrow\ t=2$
$x=t-1=1$，满足 $x>-1$
此时 ${y=\frac{1+3+6}{2}=5}$，下界可以取到
当 $x=1$ 时取到。