原题
若 $x>0$，求函数 ${y=\frac{2x}{x^2+4}}$ 的最大值。
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x>0$
- 目标
- ${y=\frac{2x}{x^2+4}}$ 的最大值
若 $x>0$，求函数 ${y=\frac{2x}{x^2+4}}$ 的最大值。
$x>0\ \Longrightarrow\ y>0$
$y$ 越大，$\frac1y$ 越小，$y$ 的最大值对应 $\frac1y$ 的最小值。
${\frac1y=\frac{x^2+4}{2x}}$，分子次数高于分母，可以逐项分离。
$y>0$ 时，$y$ 越大，$\frac1y$ 越小。
$y$ 越小，$\frac1y$ 越大，求最大值的方向反了。本题 $y>0$ 可无限接近 $0$，没有最小值；$\frac1y$ 无上界，也没有最大值。
分子 $2x$ 也随 $x$ 变化，不能只看分母。
$x>0$ 时 $x^2+4>4$，分母没有最小值；$x$ 从正侧趋于 $0$ 时，分母趋于下界 $4$，分子 $2x$ 和 $y$ 都趋于 $0$，不能得到 $y$ 的最大值。
$x>0\ \Longrightarrow\ y>0$
$y$ 越大，$\frac1y$ 越小，所以求 $\frac1y$ 的最小值。
${\frac1y=\frac{x^2+4}{2x}}$
${\frac{x^2+4}{2x}=\frac{x^2}{2x}+\frac4{2x}}$
${\frac1y=\frac x2+\frac2x}$
${2x\left(\frac12x+\frac1{2x}\right)}={x^2+1}$
$x^2+1\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $1$，与分子的 $1$ 一致。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(\frac12x+\frac1x\right)}={x^2+2}$
$x^2+2\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $1$，与分子的 $1$ 一致。
常数项是 $2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(\frac12x+\frac4x\right)}={x^2+8}$
$x^2+8\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $1$，与分子的 $1$ 一致。
常数项是 $8$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(x+\frac1{2x}\right)}={2x^2+1}$
$2x^2+1\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $2$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(x+\frac1x\right)}={2x^2+2}$
$2x^2+2\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $2$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(x+\frac2x\right)}={2x^2+4}$
$2x^2+4\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $2$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(x+\frac4x\right)}={2x^2+8}$
$2x^2+8\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $2$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $8$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(2x+\frac1{2x}\right)}={4x^2+1}$
$4x^2+1\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $4$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(2x+\frac1x\right)}={4x^2+2}$
$4x^2+2\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $4$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(2x+\frac2x\right)}={4x^2+4}$
$4x^2+4\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $4$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(2x+\frac4x\right)}={4x^2+8}$
$4x^2+8\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $4$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $8$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(4x+\frac1{2x}\right)}={8x^2+1}$
$8x^2+1\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $8$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $1$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(4x+\frac1x\right)}={8x^2+2}$
$8x^2+2\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $8$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $2$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(4x+\frac2x\right)}={8x^2+4}$
$8x^2+4\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $8$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $4$，与分子的 $4$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${2x\left(4x+\frac4x\right)}={8x^2+8}$
$8x^2+8\not\equiv x^2+4$
二次项系数是 $8$，与分子的 $1$ 不同。
常数项是 $8$，与分子的 $4$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$x>0\ \Longrightarrow\ \frac x2>0,\quad\frac2x>0$
$\frac x2\cdot\frac2x=1$
两个正项的积固定，求和的最小值，也就是 $\frac1y$ 的最小值。
${\frac x2+\frac2x\ge2\sqrt{\frac x2\cdot\frac2x}=2}$
$\frac1y\ge2$，又 $y>0$，所以 $y\le\frac12$
上界已经得到，还需要检查它在哪里取到。
$\frac x2=\frac2x\ \Longrightarrow\ x^2=4$
$x>0\ \Longrightarrow\ x=2$
此时 ${y=\frac{4}{4+4}=\frac12}$，上界可以取到
当 $x=2$ 时取到。