原题
若 $x>0$，求函数 ${y=\frac{2x+1}{x^2+1}}$ 的最大值。
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x>0$
- 目标
- ${y=\frac{2x+1}{x^2+1}}$ 的最大值
若 $x>0$，求函数 ${y=\frac{2x+1}{x^2+1}}$ 的最大值。
$x>0\ \Longrightarrow\ y>0$
$y$ 越大，$\frac1y$ 越小，$y$ 的最大值对应 $\frac1y$ 的最小值。
${\frac1y=\frac{x^2+1}{2x+1}}$，分子次数高于分母。
$y>0$ 时，$y$ 越大，$\frac1y$ 越小。
$y$ 越小，$\frac1y$ 越大，求最大值的方向反了。本题 $y>0$ 可无限接近 $0$，没有最小值；$\frac1y$ 无上界，也没有最大值。
分子 $2x+1$ 也随 $x$ 变化，不能只看分母。
$x>0$ 时 $x^2+1>1$，分母没有最小值；$x$ 从正侧趋于 $0$ 时，分母趋于下界 $1$，$y$ 趋于 $1$；而 $x=1$ 时 $y=\frac32$，更大。
$x>0\ \Longrightarrow\ y>0$
$y$ 越大，$\frac1y$ 越小，所以求 $\frac1y$ 的最小值。
可以合法拆成 $\frac{x^2}{2x+1}+\frac1{2x+1}$，但还不能直接化成一次项、常数项与倒数项的和。把分母看成整体换元，能让后续分离更方便。
$t=2x+1\ \Longrightarrow\ x=\frac{t-1}2$
${x^2+1=\frac{(t-1)^2}{4}+1}$ ${=\frac{t^2-2t+5}{4}}$
$x>0\ \Longrightarrow\ t>1$
${\frac1y=\frac{t^2-2t+5}{4t}}$ ${=\frac14\cdot\frac{t^2-2t+5}{t}}$
系数 $\frac14$ 先提到外面，接下来对 $\frac{t^2-2t+5}{t}$ 逐项相除。
${\frac{t^2-2t+5}{t}=t-2+\frac5t}$
${\frac1y=\frac14\left(t-2+\frac5t\right)}$
${t\left(t-5-\frac5t\right)}={t^2-5t-5}$
$t^2-5t-5\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $-5$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $-5$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-5-\frac2t\right)}={t^2-5t-2}$
$t^2-5t-2\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $-5$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $-2$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-5+\frac2t\right)}={t^2-5t+2}$
$t^2-5t+2\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $-5$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $2$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-5+\frac5t\right)}={t^2-5t+5}$
$t^2-5t+5\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $-5$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $5$，与分子的 $5$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-2-\frac5t\right)}={t^2-2t-5}$
$t^2-2t-5\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $-2$，与分子的 $-2$ 一致。
常数项是 $-5$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-2-\frac2t\right)}={t^2-2t-2}$
$t^2-2t-2\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $-2$，与分子的 $-2$ 一致。
常数项是 $-2$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t-2+\frac2t\right)}={t^2-2t+2}$
$t^2-2t+2\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $-2$，与分子的 $-2$ 一致。
常数项是 $2$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+2-\frac5t\right)}={t^2+2t-5}$
$t^2+2t-5\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $2$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $-5$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+2-\frac2t\right)}={t^2+2t-2}$
$t^2+2t-2\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $2$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $-2$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+2+\frac2t\right)}={t^2+2t+2}$
$t^2+2t+2\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $2$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $2$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+2+\frac5t\right)}={t^2+2t+5}$
$t^2+2t+5\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $2$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $5$，与分子的 $5$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+5-\frac5t\right)}={t^2+5t-5}$
$t^2+5t-5\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $5$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $-5$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+5-\frac2t\right)}={t^2+5t-2}$
$t^2+5t-2\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $5$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $-2$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+5+\frac2t\right)}={t^2+5t+2}$
$t^2+5t+2\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $5$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $2$，与分子的 $5$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${t\left(t+5+\frac5t\right)}={t^2+5t+5}$
$t^2+5t+5\not\equiv t^2-2t+5$
一次项系数是 $5$，与分子的 $-2$ 不同。
常数项是 $5$，与分子的 $5$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$t>1\ \Longrightarrow\ t>0,\quad\frac5t>0$
$t\cdot\frac5t=5$
两个正项的积固定，求和的最小值。系数 $\frac14$ 和常数 $-2$ 留在外面，最后代回。
${t+\frac5t\ge2\sqrt{t\cdot\frac5t}=2\sqrt5}$
${\frac1y=\frac14\left(t+\frac5t-2\right)}$
${\ge\frac{2\sqrt5-2}{4}=\frac{\sqrt5-1}{2}}$
这是 1/y 的下界，还需要检查它在哪里取到。
$t=\frac5t\ \Longrightarrow\ t^2=5$
$t>1\ \Longrightarrow\ t=\sqrt5$
${x=\frac{t-1}2=\frac{\sqrt5-1}2}$，满足 $x>0$
$\frac1y$ 的最小值 $\frac{\sqrt5-1}{2}$ 可以取到
$y>0$，$\frac1y$ 最小时 $y$ 最大。
${y\le\frac{2}{\sqrt5-1}}$ ${=\frac{2(\sqrt5+1)}{4}=\frac{\sqrt5+1}{2}}$
$\frac{\sqrt5-1}{2}$ 是 $\frac1y$ 的最小值，还要取倒数换回 $y$。
取等点 $x\approx0.618$ 时 $y\approx1.618$，不是 $0.618$。
$2\sqrt5-2$ 是括号 $t-2+\frac5t$ 的最小值。
漏了系数 $\frac14$，也没有换回 $y$。
$y>0$，$\frac1y$ 最小时 $y$ 最大
${y\le\frac{2}{\sqrt5-1}}$ ${=\frac{2(\sqrt5+1)}{4}=\frac{\sqrt5+1}{2}}$
当 ${x=\frac{\sqrt5-1}{2}}$ 时取到。$\frac{\sqrt5-1}{2}$ 是 $\frac1y$ 的最小值，不是答案。