原题
若实数 $x,y$ 满足 ${x^2+y^2-xy=1}$，求 $x+y$ 的取值范围。
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x,y$ 为实数，${x^2+y^2-xy=1}$
- 目标
- $x+y$ 的取值范围
若实数 $x,y$ 满足 ${x^2+y^2-xy=1}$，求 $x+y$ 的取值范围。
条件和目标交换 $x$、$y$ 后都不变，可以考虑用和与积表示。
$x,y$ 是任意实数，$s$、$p$ 暂时没有符号限制。
接下来把条件用 $s$、$p$ 表示。
$x^2+y^2=s^2-2p$
${x^2+y^2-xy=s^2-2p-p}$ ${=s^2-3p}$
$s^2-2p$ 只是 $x^2+y^2$，还漏了 $-xy$ 这一项。
${s^2-p=x^2+y^2+xy}$，$xy$ 的符号反了。
${x^2+y^2-xy=(x+y)^2-3xy}$
$s^2-3p=1\ \Longrightarrow\ p=\frac{s^2-1}{3}$
接下来需要一个联系 $s$ 与 $p$ 的不等式。
$(x-y)^2\ge0\ \Longrightarrow\ (x+y)^2\ge4xy$
即 $p\le\frac{s^2}{4}$，对任意实数都成立。
$s\ge2\sqrt p$ 对两个非负数成立（允许零），但本题不保证 $x,y$ 均非负；当 $p<0$ 时，$\sqrt p$ 在实数范围内无定义。
比如 $x=y=-1$ 满足条件，此时 $s=-2$，$2\sqrt p=2$，不成立。
$(x-y)^2\ge0$ 给出的是 $s^2\ge4p$，即 $p\le\frac{s^2}{4}$，方向反了。
$(x-y)^2\ge0\ \Longrightarrow\ p\le\frac{s^2}{4}$
${\frac{s^2-1}{3}\le\frac{s^2}{4}}$
${4s^2-4\le3s^2\ \Longrightarrow\ s^2\le4}$
${s^2\le4\ \Longleftrightarrow\ |s|\le2}$
即 $-2\le s\le2$
只写了上界。$s=-3$ 满足 $s\le2$，但 $s^2=9$，不满足 $s^2\le4$。
题目没有说 $x,y$ 为正，$s$ 可以是负数。
比如 $x=y=-1$ 时 $s=-2$。
$s\le-2$ 或 $s\ge2$ 是 $s^2\ge4$ 的解，方向反了。
$s^2\le4\ \Longrightarrow\ -2\le s\le2$
还要检查两个端点能否取到。
${p=\frac{s^2}{4}\ \Longleftrightarrow\ (x-y)^2=0}$
$x=y$ 代入条件：${x^2=1\ \Longrightarrow\ x=y=\pm1}$
$x=y=1$ 时 $s=2$；$x=y=-1$ 时 $s=-2$
对 $[-2,2]$ 内任意 $s$，取 $p=\frac{s^2-1}{3}$，
${s^2-4p=\frac{4-s^2}{3}\ge0}$，
方程 $t^2-st+p=0$ 有实根 $x,y$，中间值也都能取到。
最大值 $2$ 在 $x=y=1$ 时取到，最小值 $-2$ 在 $x=y=-1$ 时取到。