原题
若实数 $x,y$ 满足 ${x^2+4y^2-2xy=1}$，求 ${\frac x2+y}$ 的取值范围。
题意整理
根据原题转写- 条件
- $x,y$ 为实数，${x^2+4y^2-2xy=1}$
- 目标
- ${\frac x2+y}$ 的取值范围
若实数 $x,y$ 满足 ${x^2+4y^2-2xy=1}$，求 ${\frac x2+y}$ 的取值范围。
条件和目标交换 $x$、$y$ 后都改变，不能直接用 $x+y$、$xy$ 换元。
需要先换元，构造对称结构。
$4y^2=(2y)^2,\quad 2xy=x\cdot2y$
条件：${a^2+b^2-ab=1}$
目标：${\frac x2+y=\frac{a+b}{2}}$
交换 $a$、$b$ 后条件和目标都不变。
$y=\frac b4$：$4y^2=\frac{b^2}{4}$，$2xy=\frac{ab}{2}$
条件变成 ${a^2+\frac{b^2}4-\frac{ab}2=1}$，仍不对称。
$x=\frac a2$：条件变成 ${\frac{a^2}4+4b^2-ab=1}$，仍不对称。
$a=x,\ b=2y$：$4y^2=b^2$，$2xy=ab$
条件 ${a^2+b^2-ab=1}$
目标 ${\frac x2+y=\frac{a+b}{2}}$
交换 $a$、$b$ 后都不变，接下来用和与积表示。
$a,b$ 是任意实数，$s$、$p$ 暂时没有符号限制。
目标 ${\frac x2+y=\frac s2}$
接下来把条件用 $s$、$p$ 表示。
$a^2+b^2=s^2-2p$
${a^2+b^2-ab=s^2-2p-p}$ ${=s^2-3p}$
$s^2-2p$ 只是 $a^2+b^2$，还漏了 $-ab$ 这一项。
${s^2-p=a^2+b^2+ab}$，$ab$ 的符号反了。
${a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab}$
$s^2-3p=1\ \Longrightarrow\ p=\frac{s^2-1}{3}$
接下来需要一个联系 $s$ 与 $p$ 的不等式。
$(a-b)^2\ge0\ \Longrightarrow\ (a+b)^2\ge4ab$
即 $p\le\frac{s^2}{4}$，对任意实数都成立。
$s\ge2\sqrt p$ 对两个非负数成立（允许零），但本题不保证 $a,b$ 均非负；当 $p<0$ 时，$\sqrt p$ 在实数范围内无定义。
比如 $x=-1,\ y=-\frac12$ 满足条件，此时 $s=-2$，$2\sqrt p=2$，不成立。
$(a-b)^2\ge0$ 给出的是 $s^2\ge4p$，即 $p\le\frac{s^2}{4}$，方向反了。
$(a-b)^2\ge0\ \Longrightarrow\ p\le\frac{s^2}{4}$
${\frac{s^2-1}{3}\le\frac{s^2}{4}}$
${s^2\le4\ \Longrightarrow\ -2\le s\le2}$
目标 ${\frac x2+y=\frac s2}$
$-2\le s\le2$ 各除以 $2$：
${-1\le\frac s2\le1}$
$[-2,2]$ 是 $s=a+b$ 的范围，目标是 $\frac s2$，还要除以 $2$。
只写了上界，题目求取值范围，下界也要。
题目没有说 $x,y$ 为正，目标可以是负数。
比如 $x=-1,\ y=-\frac12$ 时，${\frac x2+y=-1}$。
${-2\le s\le2\ \Longrightarrow\ -1\le\frac s2\le1}$
还要检查两个端点能否取到。
${p=\frac{s^2}{4}\ \Longleftrightarrow\ (a-b)^2=0}$
$a=b$ 即 $x=2y$，代入条件：${x^2=1}$
$x=1,\ y=\frac12$ 时取 $1$
$x=-1,\ y=-\frac12$ 时取 $-1$
对 $[-2,2]$ 内任意 $s$，取 $p=\frac{s^2-1}{3}$，
${s^2-4p=\frac{4-s^2}{3}\ge0}$，
存在实数 $a,b$，即存在 $x=a,\ y=\frac b2$，中间值也都能取到。
最大值 $1$ 在 $x=1,\ y=\frac12$ 时取到，最小值 $-1$ 在 $x=-1,\ y=-\frac12$ 时取到。