原题
已知 ${a>0,\ b>0}$，且 ${2ab=a+2b+3}$，求 ${a+2b}$ 的最小值。
题意整理
根据原题转写- 条件
- ${a>0,\ b>0}$，${2ab=a+2b+3}$
- 目标
- ${a+2b}$ 的最小值
已知 ${a>0,\ b>0}$，且 ${2ab=a+2b+3}$，求 ${a+2b}$ 的最小值。
$2ab$ 交换后不变，但 $a+2b$ 变成 $b+2a$，条件和目标都改变。
不能直接用 $a+b$、$ab$ 换元，需要先构造对称结构。
${2ab=a\cdot2b}$，${a+2b=a+(2b)}$
条件：${xy=x+y+3}$
目标：${a+2b=x+y}$
交换 $x$、$y$ 后条件和目标都不变。
$a=\frac x2$：${2ab=xy}$，${a+2b=\frac x2+2y}$
条件变成 ${xy=\frac x2+2y+3}$，仍不对称。
$a=\frac x2,\ b=\frac y2$：${2ab=\frac{xy}2}$
条件变成 ${\frac{xy}2=\frac x2+y+3}$，仍不对称。
$x=a,\ y=2b$：${2ab=xy}$，${a+2b=x+y}$
条件 ${xy=x+y+3}$
$a,b>0$，所以 $x,y>0$，交换 $x$、$y$ 后都不变。
$x,y>0$，所以 $s>0,\ p>0$。
目标 ${a+2b=s}$
接下来把条件用 $s$、$p$ 表示。
${xy=p}$，${x+y=s}$
${xy=x+y+3}$ 即 ${p=s+3}$
条件右边是 ${x+y+3}$，常数是 $+3$，不是 $-3$。
$2ab$ 已经整体换成 $xy$，${xy=p}$，不需要再乘 $2$。
${xy=p,\ x+y=s}$
$p=s+3$
接下来需要一个联系 $s$ 与 $p$ 的不等式。
${(x-y)^2\ge0}$ ${\Longrightarrow\ (x+y)^2\ge4xy}$
即 $p\le\frac{s^2}{4}$。
$x,y>0$ 时，${x+y\ge2\sqrt{xy}}$，即 $s\ge2\sqrt p$。
两边都是正数，平方后就是 $s^2\ge4p$，与 $p\le\frac{s^2}{4}$ 等价。
${(x-y)^2\ge0}$ 给出的是 $s^2\ge4p$，即 $p\le\frac{s^2}{4}$，方向反了。
代入 $p=s+3$：
${s+3\le\frac{s^2}{4}}$
${s^2-4s-12\ge0}$
${(s-6)(s+2)\ge0}$，得 ${s\le-2}$ 或 ${s\ge6}$
$s=x+y>0$，舍去 ${s\le-2}$，得 ${s\ge6}$
不等式本身的解集没错，但 $s=x+y$，而 $x,y>0$，所以 $s\le-2$ 不可能，要舍去。
${(s-6)(s+2)\ge0}$ 要求两个因式同号，解集在两根之外，不在两根之间。
${(s-6)(s+2)\ge0}$，得 ${s\le-2}$ 或 ${s\ge6}$
$s>0$，所以 $s\ge6$，即 ${a+2b\ge6}$
还要检查 $6$ 能否取到。
${p=\frac{s^2}4\ \Longleftrightarrow\ (x-y)^2=0}$，即 $x=y$
代入 ${xy=x+y+3}$：${x^2=2x+3}$
$x>0$，所以 $x=y=3$
$a=x=3,\ b=\frac y2=\frac32$
${2\cdot3\cdot\frac32=9}$，${3+3+3=9}$
$a+2b=6$，下界可以取到。
$a+3>0$，$2b>0$，所以 $a-1>0$
即 $a>1$。
$a>0$ 是题目条件，还没用上 $b>0$。
比如 $a=\frac12$ 时 ${2b=\frac{a+3}{a-1}=-7}$，$b$ 为负。
$a\ne1$ 只保证分母不为 $0$。
$a\lt1$ 时分母为负、分子为正，$b$ 为负。
$a=1$ 时条件为 ${2b=4+2b}$，不成立，所以 $a\ne1$
由 $2b>0$、$a+3>0$ 得 $a-1>0$，即 $a>1$
${a+2b=a+\frac{a+3}{a-1}}$
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{1}{a-1}+1\right)}$
${=a^2-a+1}$
$a^2-a+1\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $-1$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $1$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{1}{a-1}+2\right)}$
${=a^2}$
$a^2\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $0$，与原式的 $0$ 一致。
常数项是 $0$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{1}{a-1}+3\right)}$
${=a^2+a-1}$
$a^2+a-1\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $1$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $-1$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{1}{a-1}+4\right)}$
${=a^2+2a-2}$
$a^2+2a-2\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $2$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $-2$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{2}{a-1}+1\right)}$
${=a^2-a+2}$
$a^2-a+2\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $-1$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $2$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{2}{a-1}+2\right)}$
${=a^2+1}$
$a^2+1\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $0$，与原式的 $0$ 一致。
常数项是 $1$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{2}{a-1}+3\right)}$
${=a^2+a}$
$a^2+a\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $1$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $0$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{2}{a-1}+4\right)}$
${=a^2+2a-1}$
$a^2+2a-1\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $2$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $-1$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{3}{a-1}+1\right)}$
${=a^2-a+3}$
$a^2-a+3\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $-1$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $3$，与原式的 $3$ 一致。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{3}{a-1}+2\right)}$
${=a^2+2}$
$a^2+2\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $0$，与原式的 $0$ 一致。
常数项是 $2$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{3}{a-1}+3\right)}$
${=a^2+a+1}$
$a^2+a+1\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $1$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $1$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{3}{a-1}+4\right)}$
${=a^2+2a}$
$a^2+2a\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $2$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $0$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{4}{a-1}+1\right)}$
${=a^2-a+4}$
$a^2-a+4\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $-1$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $4$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{4}{a-1}+3\right)}$
${=a^2+a+2}$
$a^2+a+2\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $1$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $2$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${(a-1)\left(a+\frac{a+3}{a-1}\right)}={a^2+3}$
${(a-1)\left((a-1)+\frac{4}{a-1}+4\right)}$
${=a^2+2a+1}$
$a^2+2a+1\not\equiv a^2+3$
一次项系数是 $2$，与原式的 $0$ 不同。
常数项是 $1$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
${\frac{a+3}{a-1}=\frac{(a-1)+4}{a-1}}$ ${=1+\frac4{a-1}}$
${a+1=(a-1)+2}$
${a+2b=(a-1)+\frac4{a-1}+2}$
由 $a>1$ 得 $a-1>0$，$\frac4{a-1}>0$
$(a-1)\cdot\frac4{a-1}=4$
两个正项的积固定，求和的最小值；常数 $2$ 不参与，最后再加。
${(a-1)+\frac4{a-1}}$ ${\ge2\sqrt{(a-1)\cdot\frac4{a-1}}}$ ${=2\sqrt4=4}$
${a+2b\ge4+2=6}$
下界已经得到，还需要检查它能否取到。
由 ${a-1=\frac4{a-1}}$ 得 ${(a-1)^2=4}$
又 $a>1$，所以 $a-1=2$，$a=3$
${2b=\frac{3+3}{3-1}=3}$，$b=\frac32>0$
${2\cdot3\cdot\frac32=9}$，${3+3+3=9}$
$a+2b=3+3=6$
当 $a=3,\ b=\frac32$ 时取到。