原题
若不等式 $-x^2+2x+3\le a^2-3a$ 对任意实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。
题意整理
根据原题转写- 范围
- $x\in\mathbb R,\quad a\in\mathbb R$
- 条件
- $\forall x\in\mathbb R,$ $-x^2+2x+3\le a^2-3a$
- 目标
- $\{a\in\mathbb R\mid\text{上述条件成立}\}$
若不等式 $-x^2+2x+3\le a^2-3a$ 对任意实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。
看题目对哪些 $x$ 提出要求，再看 $x^2$ 的系数
$x$ 的取值范围：全体实数
题目要求对任意实数 $x$ 成立。
$x^2$ 的系数：$-1$，确定非零
$a$ 是参数，$a^2$ 属于常数项。
两个前提都满足，可以直接用判别式法
由题意，对任意 $x\in\mathbb R$，$-x^2+2x+3\le a^2-3a$ 恒成立。
移项得 $x^2-2x+a^2-3a-3\ge0$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立。
令 $g(x)=x^2-2x+a^2-3a-3$。
$g(x)\ge0$ 恒成立 ⇔ 图像与横轴至多有一个公共点
$\because$ $g(x)$ 的二次项系数 $1>0$，图像开口向上，
$\therefore$ $g(x)\ge0$ 恒成立 $\iff$ $g(x)$ 的图像与 $x$ 轴至多有一个公共点。
$g(x)$ 开口向上
$\therefore\ \Delta=(-2)^2-4\times1\times(a^2-3a-3)\le0$，
整理得 $a^2-3a-4\ge0$。
要检查的边界：$a=-1$ 和 $a=4$
$h(a)=(a+1)(a-4)$ 开口向上，零点 $a=-1$、$a=4$。
即 $(a+1)(a-4)\ge0$，
$\therefore\ a\le-1$ 或 $a\ge4$。
$a=-1$：保留
$a^2-3a=(-1)^2-3\times(-1)=4$
$a=4$：保留
$a^2-3a=4^2-3\times4=4$
两个边界都保留
两个边界都使 $\Delta=0$。
检验：当 $a=-1$ 或 $a=4$ 时，$a^2-3a=4$，原不等式化为 $(x-1)^2\ge0$，对任意 $x\in\mathbb R$ 成立。
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]\cup[4,+\infty)$。
把含 $a$ 的项单独放到一边，另一边只含 $x$
参数能否单独放到一边：已经分离
左边 $-x^2+2x+3$ 只含 $x$，右边 $a^2-3a$ 只含 $a$。
是否要除以含 $x$ 的式子：不需要除
两边已经分开，不用做除法。
两个前提都满足，可以用分离参数法
由题意，对任意 $x\in\mathbb R$，$-x^2+2x+3\le a^2-3a$ 恒成立。
记 $f(x)=-x^2+2x+3$，$c=a^2-3a$，$c$ 与 $x$ 无关。
$\therefore$ 原不等式恒成立 $\iff a^2-3a\ge f(x)_{\max}$。
$f(x)=-x^2+2x+3=4-(x-1)^2$，
$\because\ (x-1)^2\ge0$，$\therefore\ f(x)\le4$，当 $x=1$ 时取等，
$\therefore\ f(x)_{\max}=4$，故 $a^2-3a\ge4$，即 $a^2-3a-4\ge0$。
$-1-(x+1)^2=-x^2-2x-2$
$-x^2-2x-2\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $-2$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-2$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$-1-(x-1)^2=-x^2+2x-2$
$-x^2+2x-2\not\equiv -x^2+2x+3$
常数项是 $-2$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$-1-(x-2)^2=-x^2+4x-5$
$-x^2+4x-5\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $4$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-5$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$-1-(x-3)^2=-x^2+6x-10$
$-x^2+6x-10\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $6$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-10$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$-1-(x-4)^2=-x^2+8x-17$
$-x^2+8x-17\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $8$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-17$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$1-(x+1)^2=-x^2-2x$
$-x^2-2x\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $-2$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $0$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$1-(x-1)^2=-x^2+2x$
$-x^2+2x\not\equiv -x^2+2x+3$
常数项是 $0$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$1-(x-2)^2=-x^2+4x-3$
$-x^2+4x-3\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $4$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-3$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$1-(x-3)^2=-x^2+6x-8$
$-x^2+6x-8\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $6$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-8$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$1-(x-4)^2=-x^2+8x-15$
$-x^2+8x-15\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $8$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-15$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$2-(x+1)^2=-x^2-2x+1$
$-x^2-2x+1\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $-2$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $1$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$2-(x-1)^2=-x^2+2x+1$
$-x^2+2x+1\not\equiv -x^2+2x+3$
常数项是 $1$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$2-(x-2)^2=-x^2+4x-2$
$-x^2+4x-2\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $4$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-2$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$2-(x-3)^2=-x^2+6x-7$
$-x^2+6x-7\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $6$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-7$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$2-(x-4)^2=-x^2+8x-14$
$-x^2+8x-14\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $8$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-14$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$3-(x+1)^2=-x^2-2x+2$
$-x^2-2x+2\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $-2$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $2$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$3-(x-1)^2=-x^2+2x+2$
$-x^2+2x+2\not\equiv -x^2+2x+3$
常数项是 $2$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$3-(x-2)^2=-x^2+4x-1$
$-x^2+4x-1\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $4$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-1$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$3-(x-3)^2=-x^2+6x-6$
$-x^2+6x-6\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $6$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-6$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$3-(x-4)^2=-x^2+8x-13$
$-x^2+8x-13\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $8$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-13$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$4-(x+1)^2=-x^2-2x+3$
$-x^2-2x+3\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $-2$，与原式的 $2$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$4-(x-2)^2=-x^2+4x$
$-x^2+4x\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $4$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $0$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$4-(x-3)^2=-x^2+6x-5$
$-x^2+6x-5\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $6$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-5$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$4-(x-4)^2=-x^2+8x-12$
$-x^2+8x-12\not\equiv -x^2+2x+3$
一次项系数是 $8$，与原式的 $2$ 不同。
常数项是 $-12$，与原式的 $3$ 不同。
本步需要恒等变形，请调整不匹配的数。
$h(a)=(a+1)(a-4)$ 开口向上，零点 $a=-1$、$a=4$。
即 $(a+1)(a-4)\ge0$，
$\therefore\ a\le-1$ 或 $a\ge4$。
$a=-1$：保留
$a^2-3a=(-1)^2-3\times(-1)=4$
$a=4$：保留
$a^2-3a=4^2-3\times4=4$
两个边界都保留
两个边界都使右侧等于 $4$，正好等于左侧的最大值。
检验：当 $a=-1$ 或 $a=4$ 时，$a^2-3a=4=f(x)_{\max}$，$f(x)\le4$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 成立。
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]\cup[4,+\infty)$。
本题已完成
判别式法看整条图像与横轴的位置；分离参数法让参数那边不低于另一边的最大值。两个端点都允许取等。
← 返回恒成立题库