数学说

一元二次不等式应用之恒成立问题

按四种方法分组，先判断选哪种方法，再一步步求出参数范围。

核心转化 f(x)≥a 恒成立 ⇔ f(x)min ≥a 看范围 · 看次数 · 看参数位置

题目

共 9 题

判别式法

x 取全体实数时用：结合开口方向与判别式判断。

3 题讲解
  1. 若 −x2+2x+3≤a2−3a 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围。
  2. 已知不等式 kx2+2kx−(k+2)<0 恒成立，求实数 k 的取值范围。
  3. 已知不等式 (a2−1)x2−(a−1)x−1<0 恒成立，求实数 a 的取值范围。

区间最值法（分类讨论）

x 只在某个区间上取值时用：看对称轴与区间的位置，分类求最值。

2 题讲解
  1. 当 1≤x≤2 时，不等式 x2+mx+4<0 恒成立，求实数 m 的取值范围。
  2. 当 1<x<2 时，关于 x 的不等式 x2+mx+4>0 有解，求实数 m 的取值范围。

分离参数法

参数能单独移到一边、除数符号确定时用：比较参数与函数的最值。

2 题讲解
  1. “∀x<0,x2+ax+2≥0”为真命题，求实数 a 的取值范围。
  2. ∀x∈{x∣2≤x≤3}，不等式 mx2−mx−1<0 恒成立，求实数 m 的取值范围。

更换主元法

给出范围的是参数、要求的是 x 时用：把参数当主元，看两端。

2 题讲解
  1. 已知函数 y=mx2−mx−6+m，若对于 1≤m≤3，y<0 恒成立，求实数 x 的取值范围。
  2. 已知 y=ax2−(a+1)x+1，若对任意 −1≤a≤1，y>0 恒成立，求 x 的取值范围。

本专题的知识、技能、方法和题型

按公共节点类型查看本专题涉及的内容。各道题的具体方法和步骤关联，可在练习页中查看。

看全部专题的知识图谱 →