原题
已知不等式 $kx^2+2kx-(k+2)<0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围。
题意整理
根据原题转写- 范围
- $x\in\mathbb R,\quad k\in\mathbb R$
- 条件
- $\forall x\in\mathbb R,$ $kx^2+2kx-(k+2)<0$
- 目标
- $\{k\in\mathbb R\mid\text{上述条件成立}\}$
已知不等式 $kx^2+2kx-(k+2)<0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围。
看题目对哪些 $x$ 提出要求，再看 $x^2$ 的系数
$x$ 的取值范围：全体实数
题目要求对任意实数 $x$ 成立。
$x^2$ 的系数：$k$，可能为零
$k=0$ 时退化为常数，不再是二次函数。
先讨论 $k=0$，再讨论 $k\ne0$
由题意，对任意 $x\in\mathbb R$，$kx^2+2kx-(k+2)<0$ 恒成立。
记 $f(x)=kx^2+2kx-(k+2)$，二次项系数为 $k$，分 $k=0$ 与 $k\ne0$ 两种情况讨论。
不是二次不等式，也不能跳过
① 当 $k=0$ 时，原不等式为 $-2<0$，对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立，符合题意；
$f(x)<0$ 恒成立 ⇔ 开口向下且与横轴没有公共点
② 当 $k\ne0$ 时，$f(x)$ 为二次函数，
$\therefore$ $f(x)<0$ 恒成立 $\iff$ 图像开口向下且与 $x$ 轴无公共点，
开口向下（$k<0$）时
$\therefore\ \begin{cases}k<0,\\ \Delta=(2k)^2-4k\cdot[-(k+2)]<0,\end{cases}$
整理得 $8k^2+8k<0$。
同时要满足 $k<0$
$h(k)=8k(k+1)$ 开口向上，零点 $k=-1$、$k=0$；两根之间的 $k$ 都满足 $k<0$。
即 $8k(k+1)<0$，解得 $-1<k<0$，满足 $k<0$，
$\therefore\ -1<k<0$；
将①②取并集，得 $-1<k\le0$。
要检查的边界：$k=-1$ 和 $k=0$
$k=-1$：排除
$-(x+1)^2<0$ 在 $x=-1$ 时为 $0<0$，不成立
$k=0$：保留
$-2<0$ 对所有 $x$ 成立
排除 $k=-1$，保留 $k=0$
检验：$k=-1$ 时，原不等式为 $-(x+1)^2<0$，当 $x=-1$ 时不成立，故 $k\ne-1$；$k=0$ 时由①知成立。
综上，实数 $k$ 的取值范围是 $(-1,0]$。
本题已完成
二次项系数含参数，先单独讨论 $k=0$；严格小于零要求开口向下且 $\Delta<0$，不允许相切。两种情况最后取并集。
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