原题
已知不等式 $(a^2-1)x^2-(a-1)x-1<0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。
题意整理
根据原题转写- 范围
- $x\in\mathbb R,\quad a\in\mathbb R$
- 条件
- $\forall x\in\mathbb R,$ $(a^2-1)x^2-(a-1)x-1<0$
- 目标
- $\{a\in\mathbb R\mid\text{上述条件成立}\}$
已知不等式 $(a^2-1)x^2-(a-1)x-1<0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。
看题目对哪些 $x$ 提出要求，再看 $x^2$ 的系数
$x$ 的取值范围：全体实数
题目要求对任意实数 $x$ 成立。
$x^2$ 的系数：$a^2-1$，可能为零
$a^2-1=0$ 时不再是二次函数。
先讨论 $a^2-1=0$，再讨论 $a^2-1\ne0$
由题意，对任意 $x\in\mathbb R$，$(a^2-1)x^2-(a-1)x-1<0$ 恒成立。
记 $f(x)=(a^2-1)x^2-(a-1)x-1$，二次项系数为 $a^2-1$，分 $a^2-1=0$ 与 $a^2-1\ne0$ 两种情况讨论。
$a^2-1=0$ 有两个解，逐个代入
① 当 $a^2-1=0$，即 $a=\pm1$ 时：
$a=1$ 时，原不等式为 $-1<0$，对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立，符合题意；
$a=-1$ 时，原不等式为 $2x-1<0$，即 $x<\frac12$，不恒成立，舍去；
$f(x)<0$ 恒成立 ⇔ 开口向下且与横轴没有公共点
② 当 $a^2-1\ne0$ 时，$f(x)$ 为二次函数，
$\therefore$ $f(x)<0$ 恒成立 $\iff$ 图像开口向下且与 $x$ 轴无公共点，
开口向下（$a^2-1<0$）时
$\therefore\ \begin{cases}a^2-1<0,\\ \Delta=[-(a-1)]^2-4(a^2-1)\cdot(-1)<0,\end{cases}$
整理得 $\begin{cases}-1<a<1,\\ 5a^2-2a-3<0.\end{cases}$
同时要满足 $a^2-1<0$，即 $-1<a<1$
$h(a)=(5a+3)(a-1)$ 开口向上，零点 $a=-\frac35$、$a=1$；两根之间的 $a$ 都满足 $-1<a<1$。
即 $(5a+3)(a-1)<0$，解得 $-\frac35<a<1$，满足 $-1<a<1$，
$\therefore\ -\frac35<a<1$；
将①②取并集，得 $-\frac35<a\le1$。
要检查的边界：$a=-\frac35$ 和 $a=1$
$a=-\frac35$：排除
$-\left(\frac45x-1\right)^2<0$ 在 $x=\frac54$ 时为 $0<0$，不成立
$a=1$：保留
$-1<0$ 对所有 $x$ 成立
排除 $a=-\frac35$，保留 $a=1$
检验：$a=-\frac35$ 时，原不等式为 $-\left(\frac45x-1\right)^2<0$，当 $x=\frac54$ 时不成立，故 $a\ne-\frac35$；$a=1$ 时由①知成立。
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\frac35,1\right]$。
本题已完成
$a^2-1=0$ 有 $a=\pm1$ 两个值，要逐个代入：$a=1$ 时成立，$a=-1$ 时变为一次不等式，不恒成立。$a^2-1\ne0$ 时要求开口向下且 $\Delta<0$，最后与 $a=1$ 取并集。
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