原题
当 $1\le x\le2$ 时，不等式 $x^2+mx+4<0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。
题意整理
根据原题转写- 范围
- $x\in[1,2],\quad m\in\mathbb R$
- 条件
- $\forall x\in[1,2],$ $x^2+mx+4<0$
- 目标
- $\{m\in\mathbb R\mid\text{上述条件成立}\}$
当 $1\le x\le2$ 时，不等式 $x^2+mx+4<0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。
看题目对哪些 $x$ 提出要求
$x$ 的取值范围：某个区间 $[1,2]$
题目只要求对 $1\le x\le2$ 成立。
前提满足，可以用区间最值法
由题意，对任意 $x\in[1,2]$，$x^2+mx+4<0$ 恒成立。
记 $f(x)=x^2+mx+4$，$x\in[1,2]$。
$\therefore$ 原不等式恒成立 $\iff$ $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的最大值小于 $0$。
开口向上，离对称轴更远的端点更高
$f(x)$ 的图像开口向上，对称轴为 $x=-\dfrac m2$。
① 当 $-\dfrac m2\le\dfrac32$，即 $m\ge-3$ 时，$f(x)_{\max}=f(2)=2m+8$；
② 当 $-\dfrac m2>\dfrac32$，即 $m<-3$ 时，$f(x)_{\max}=f(1)=m+5$。
① $m\ge-3$：$f(x)_{\max}=f(2)=2m+8<0$
② $m<-3$：$f(x)_{\max}=f(1)=m+5<0$
① 由 $\begin{cases}m\ge-3,\\ 2m+8<0,\end{cases}$ 得 $m\in\varnothing$；
② 由 $\begin{cases}m<-3,\\ m+5<0,\end{cases}$ 得 $m<-5$。
综上，取并集得 $m<-5$。
要检查的边界：$m=-5$
$m=-5$：排除
$x=1$ 时 $1-5+4=0$，不满足 $<0$。
边界排除
$m=-5$ 时 $f(x)=(x-1)(x-4)$，左端点落在横轴上。
检验：当 $m=-5$ 时，原不等式为 $x^2-5x+4<0$，取 $x=1$，左边 $=0$，不成立，舍去。
综上，实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,-5)$。
把含 $m$ 的项单独放到一边，另一边只含 $x$
参数能否单独放到一边：移项后可以分离
含 $m$ 的只有 $mx$ 一项。
是否要除以含 $x$ 的式子：需要除，符号确定
要除以 $x$，而 $x\in[1,2]$，$x>0$。
两个前提都满足，可以用分离参数法
由题意，对任意 $x\in[1,2]$，$x^2+mx+4<0$ 恒成立。
$x\in[1,2]$，所以 $x>0$
$\because\ x\in[1,2]$，$\therefore\ x>0$，
移项得 $mx<-x^2-4$，两边同除以 $x$ 得 $m<-\left(x+\dfrac4x\right)$。
记 $h(x)=x+\dfrac4x$，$x\in[1,2]$，则 $m<-h(x)$。
$\therefore$ 原不等式恒成立 $\iff m<-h(x)_{\max}$。
基本不等式：$a,b>0$ 时 $a+b\ge2\sqrt{ab}$，$a=b$ 时取等
左端贴着 $y$ 轴下降，在 $(2,4)$ 处最低，右端贴着直线 $y=x$ 上升。
$\because\ x>0$，$\therefore\ h(x)=x+\dfrac4x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac4x}=4$，
当且仅当 $x=\dfrac4x$，即 $x=2$ 时取等号。
由对勾函数的性质，$h(x)$ 在 $(0,2]$ 上单调递减，在 $[2,+\infty)$ 上单调递增。
最低点 $(2,4)$；$(0,2]$ 上递减，$[2,+\infty)$ 上递增
$[1,2]$ 在最低点左侧，这一段一直下降，左端最高。
$\because\ [1,2]\subseteq(0,2]$，$\therefore\ h(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递减，
$\therefore\ h(x)_{\max}=h(1)=5$，
$\therefore\ m<-5$。
$m=-5$：排除
$x=1$ 时 $1-5+4=0$，不满足 $<0$。
边界排除
最大值 $5$ 能取到：$x=1$ 时 $h(x)<-m$ 变成 $5<5$。
检验：当 $m=-5$ 时，取 $x=1$，$-h(1)=-5=m$，$m<-h(x)$ 不成立，舍去。
综上，实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,-5)$。
本题已完成
区间最值法按对称轴与区间中点的位置分类，求出区间上的最大值；分离参数法画出对勾函数 $h(x)=x+\frac4x$，取它在区间上的最大值。$m=-5$ 时 $x=1$ 处取等，不满足严格不等号。
← 返回恒成立题库