原题
当 $1<x<2$ 时，关于 $x$ 的不等式 $x^2+mx+4>0$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围。
题意整理
根据原题转写- 范围
- $x\in(1,2),\quad m\in\mathbb R$
- 条件
- 有解即存在：$\exists x\in(1,2),$ $x^2+mx+4>0$
- 目标
- $\{m\in\mathbb R\mid\text{上述条件成立}\}$
当 $1<x<2$ 时，关于 $x$ 的不等式 $x^2+mx+4>0$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围。
看题目对哪些 $x$ 提出要求
$x$ 的取值范围：某个区间 $(1,2)$
题目只要求在 $1<x<2$ 内有解。
前提满足，可以用区间最值法
由题意，存在 $x\in(1,2)$，使 $x^2+mx+4>0$。
记 $f(x)=x^2+mx+4$，$x\in(1,2)$。
$\therefore$ 原不等式在 $(1,2)$ 上有解 $\iff$ $f(x)$ 在 $(1,2)$ 上取值范围的上端大于 $0$。
开口向上，离对称轴更远的一端更高；端点取不到，函数值无限接近它
$f(x)$ 的图像开口向上，对称轴为 $x=-\dfrac m2$。
① 当 $-\dfrac m2\le\dfrac32$，即 $m\ge-3$ 时，$f(x)$ 在 $(1,2)$ 上取值范围的上端为 $f(2)=2m+8$；
② 当 $-\dfrac m2>\dfrac32$，即 $m<-3$ 时，$f(x)$ 在 $(1,2)$ 上取值范围的上端为 $f(1)=m+5$。
① $m\ge-3$：$f(2)=2m+8>0$
② $m<-3$：$f(1)=m+5>0$
① 由 $\begin{cases}m\ge-3,\\ 2m+8>0,\end{cases}$ 得 $m\ge-3$；
② 由 $\begin{cases}m<-3,\\ m+5>0,\end{cases}$ 得 $-5<m<-3$。
综上，取并集得 $m>-5$。
要检查的边界：$m=-5$
$m=-5$：排除
$(1,2)$ 内 $(x-1)(x-4)<0$，没有 $x$ 满足 $>0$。
边界排除
最高处 $f(1)=0$ 在左端，但 $x=1$ 不在区间内，取不到。
检验：当 $m=-5$ 时，原不等式为 $x^2-5x+4>0$，即 $(x-1)(x-4)>0$；
当 $1<x<2$ 时，$(x-1)(x-4)<0$，无解，舍去。
综上，实数 $m$ 的取值范围是 $(-5,+\infty)$。
把含 $m$ 的项单独放到一边，另一边只含 $x$
参数能否单独放到一边：移项后可以分离
含 $m$ 的只有 $mx$ 一项。
是否要除以含 $x$ 的式子：需要除，符号确定
要除以 $x$，而 $x\in(1,2)$，$x>0$。
两个前提都满足，可以用分离参数法
由题意，存在 $x\in(1,2)$，使 $x^2+mx+4>0$。
$x\in(1,2)$，所以 $x>0$
$\because\ x\in(1,2)$，$\therefore\ x>0$，
移项得 $mx>-x^2-4$，两边同除以 $x$ 得 $m>-\left(x+\dfrac4x\right)$。
记 $h(x)=x+\dfrac4x$，$x\in(1,2)$，则 $m>-h(x)$。
$\therefore$ 原不等式在 $(1,2)$ 上有解 $\iff m>-\bigl(h(x)\text{ 的取值上端}\bigr)$。
基本不等式：$a,b>0$ 时 $a+b\ge2\sqrt{ab}$，$a=b$ 时取等
左端贴着 $y$ 轴下降，在 $(2,4)$ 处最低，右端贴着直线 $y=x$ 上升。
$\because\ x>0$，$\therefore\ h(x)=x+\dfrac4x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac4x}=4$，
当且仅当 $x=\dfrac4x$，即 $x=2$ 时取等号。
由对勾函数的性质，$h(x)$ 在 $(0,2]$ 上单调递减，在 $[2,+\infty)$ 上单调递增。
最低点 $(2,4)$；$(0,2]$ 上递减，$[2,+\infty)$ 上递增
$(1,2)$ 在最低点左侧，这一段一直下降，上端是左端的 $5$；$x=1$、$x=2$ 不在区间内，$5$ 和 $4$ 都取不到。
$\because\ (1,2)\subseteq(0,2]$，$\therefore\ h(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调递减，
$\therefore\ h(2)<h(x)<h(1)$，即 $4<h(x)<5$，$h(x)$ 上端为 $5$，
$\therefore\ m>-5$。
$m=-5$：排除
$(1,2)$ 内 $(x-1)(x-4)<0$，没有 $x$ 满足 $>0$。
边界排除
$h(x)<5$，没有 $x$ 满足 $h(x)>5$。
检验：当 $m=-5$ 时，$m>-h(x)$ 即 $h(x)>5$，而 $x\in(1,2)$ 时 $h(x)<5$，无解，舍去。
综上，实数 $m$ 的取值范围是 $(-5,+\infty)$。
本题已完成
“有解”就是存在 $x\in(1,2)$ 使不等式成立，只需比较取值范围的上端。区间最值法按对称轴与区间中点的位置找上端；分离参数法得 $h(x)\in(4,5)$，$m>-\bigl(h(x)\text{ 的取值上端}\bigr)$，即 $m>-5$。$m=-5$ 时上端取不到，排除。
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