原题
“$\forall x<0,\ x^2+ax+2\ge0$”为真命题，求实数 $a$ 的取值范围。
题意整理
根据原题转写- 范围
- $x\in(-\infty,0),\quad a\in\mathbb R$
- 条件
- $\forall x<0,$ $x^2+ax+2\ge0$
- 目标
- $\{a\in\mathbb R\mid\text{上述条件成立}\}$
“$\forall x<0,\ x^2+ax+2\ge0$”为真命题，求实数 $a$ 的取值范围。
把含 $a$ 的项单独放到一边，另一边只含 $x$
参数能否单独放到一边：移项后可以分离
含 $a$ 的只有 $ax$ 一项。
是否要除以含 $x$ 的式子：需要除，符号确定
要除以 $x$，而 $x<0$。
两个前提都满足，可以用分离参数法
由题意，对任意 $x<0$，$x^2+ax+2\ge0$ 恒成立。
$x<0$
$\because\ x<0$，
移项得 $ax\ge-x^2-2$，两边同除以 $x$，不等号变向，得 $a\le-x-\dfrac2x$。
记 $h(x)=-x-\dfrac2x$，$x<0$，则 $a\le h(x)$。
$\therefore$ 原不等式恒成立 $\iff a\le h(x)_{\min}$。
基本不等式：$p,q>0$ 时 $p+q\ge2\sqrt{pq}$，$p=q$ 时取等
左端贴着直线 $y=-x$ 下降，在 $(-\sqrt2,2\sqrt2)$ 处最低，右端贴着 $y$ 轴上升。
$\because\ x<0$，$\therefore\ -x>0$，$-\dfrac2x>0$，
$\therefore\ h(x)=(-x)+\left(-\dfrac2x\right)$ $\ge2\sqrt{(-x)\cdot\left(-\dfrac2x\right)}=2\sqrt2$，
当且仅当 $-x=-\dfrac2x$，即 $x=-\sqrt2$ 时取等号。
由对勾函数的性质，$h(x)$ 在 $(-\infty,-\sqrt2]$ 上单调递减，在 $[-\sqrt2,0)$ 上单调递增。
最低点 $(-\sqrt2,2\sqrt2)$；$(-\infty,-\sqrt2]$ 上递减，$[-\sqrt2,0)$ 上递增
$(-\infty,0)$ 在最低点两侧都有，先降后升，最小值 $2\sqrt2$ 在最低点取到。
$\because\ -\sqrt2\in(-\infty,0)$，$\therefore\ h(x)_{\min}=h(-\sqrt2)=2\sqrt2$，
$\therefore\ a\le2\sqrt2$。
要检查的边界：$a=2\sqrt2$
$a=2\sqrt2$：保留
原不等式为 $(x+\sqrt2)^2\ge0$，对所有 $x<0$ 成立。
边界保留
$h(x)\ge2\sqrt2=a$ 对所有 $x<0$ 成立，取等也满足 $\le$。
检验：当 $a=2\sqrt2$ 时，原不等式为 $x^2+2\sqrt2x+2\ge0$，即 $(x+\sqrt2)^2\ge0$，对所有 $x<0$ 成立，保留。
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2\sqrt2]$。
看题目对哪些 $x$ 提出要求
$x$ 的取值范围：某个区间 $(-\infty,0)$
题目只要求对 $x<0$ 成立。
前提满足，可以用区间最值法
由题意，对任意 $x<0$，$x^2+ax+2\ge0$ 恒成立。
记 $f(x)=x^2+ax+2$，$x\in(-\infty,0)$。
$\therefore$ 原不等式恒成立 $\iff$ $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上取值范围的下端不小于 $0$。
顶点在区间内，下端就是最小值；顶点在区间右侧，下端在端点 0 处，取不到
$f(x)$ 的图像开口向上，对称轴为 $x=-\dfrac a2$。
① 当 $-\dfrac a2\ge0$，即 $a\le0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，取值范围的下端为 $f(0)=2$；
② 当 $-\dfrac a2<0$，即 $a>0$ 时，下端为最小值 $f\left(-\dfrac a2\right)=2-\dfrac{a^2}4$。
① $a\le0$：$f(0)=2\ge0$
② $a>0$：$f(x)_{\min}=f\left(-\frac a2\right)=2-\frac{a^2}4\ge0$
① 当 $a\le0$ 时，下端 $2>0$，恒成立，得 $a\le0$；
② 由 $\begin{cases}a>0,\\ 2-\dfrac{a^2}4\ge0,\end{cases}$ 得 $0<a\le2\sqrt2$。
综上，取并集得 $a\le2\sqrt2$。
$a=2\sqrt2$：保留
原不等式为 $(x+\sqrt2)^2\ge0$，对所有 $x<0$ 成立。
边界保留
最低处 $f(-\sqrt2)=0$，满足 $\ge0$。
检验：当 $a=2\sqrt2$ 时，原不等式为 $x^2+2\sqrt2x+2\ge0$，即 $(x+\sqrt2)^2\ge0$，对所有 $x<0$ 成立，保留。
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2\sqrt2]$。
本题已完成
分离参数法除以 $x<0$ 时不等号变向，得 $a\le h(x)_{\min}=2\sqrt2$；区间最值法按对称轴与端点 $0$ 的位置分两种情况，取并集。原题是 $\ge$，$a=2\sqrt2$ 时取等也成立，保留。
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