原题
$\forall x\in\{x\mid2\le x\le3\}$，不等式 $mx^2-mx-1<0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。
题意整理
根据原题转写- 范围
- $x\in[2,3],\quad m\in\mathbb R$
- 条件
- $\forall x\in[2,3],$ $mx^2-mx-1<0$
- 目标
- $\{m\in\mathbb R\mid\text{上述条件成立}\}$
$\forall x\in\{x\mid2\le x\le3\}$，不等式 $mx^2-mx-1<0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。
把含 $m$ 的项单独放到一边，另一边只含 $x$
参数能否单独放到一边：移项后可以分离
含 $m$ 的两项提出 $m$：$m(x^2-x)<1$。
是否要除以含 $x$ 的式子：需要除，符号确定
要除以 $x^2-x=x(x-1)$，$x\in[2,3]$ 时为正。
两个前提都满足，可以用分离参数法
由题意，对任意 $x\in[2,3]$，$mx^2-mx-1<0$ 恒成立。
$x\in[2,3]$ 时 $x^2-x=x(x-1)>0$
$\because\ x\in[2,3]$，$\therefore\ x^2-x=x(x-1)>0$，
移项、提出 $m$ 得 $m(x^2-x)<1$，两边同除以 $x^2-x$，得 $m<\dfrac1{x^2-x}$。
记 $h(x)=\dfrac1{x^2-x}$，$x\in[2,3]$，则 $m<h(x)$。
$\therefore$ 原不等式恒成立 $\iff m<h(x)_{\min}$。
分子是正数 $1$，看分母 $x^2-x$ 怎样变化
分母从 $2$ 增大到 $6$，$h(x)$ 从 $\frac12$ 减小到 $\frac16$，右端点处最小。
$\because\ x^2-x=\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14$ 在 $[2,3]$ 上单调递增，$\therefore\ 2\le x^2-x\le6$，
$\therefore\ \dfrac16\le h(x)\le\dfrac12$，$h(x)_{\min}=h(3)=\dfrac16$，
$\therefore\ m<\dfrac16$。
要检查的边界：$m=\frac16$
$m=\frac16$：排除
$x=3$ 时左边 $=\frac96-\frac36-1=0$，不满足 $<0$。
边界排除
$f(3)=0$，不满足 $<0$。
检验：当 $m=\dfrac16$ 时，原不等式为 $\dfrac16x^2-\dfrac16x-1<0$，取 $x=3$，左边 $=0$，不成立，舍去。
综上，实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac16\right)$。
看题目对哪些 $x$ 提出要求
$x$ 的取值范围：某个区间 $[2,3]$
题目只要求对 $2\le x\le3$ 成立。
前提满足，可以用区间最值法
由题意，对任意 $x\in[2,3]$，$mx^2-mx-1<0$ 恒成立。
记 $f(x)=mx^2-mx-1$，$x\in[2,3]$。
$\therefore$ 原不等式恒成立 $\iff$ $f(x)$ 在 $[2,3]$ 上的最大值小于 $0$。
对称轴在区间左侧，区间上单调：开口向上右端最高，开口向下左端最高
$m\ne0$ 时，$f(x)=m\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac m4-1$，对称轴为 $x=\dfrac12$，在 $[2,3]$ 左侧。
① 当 $m=0$ 时，$f(x)=-1$，$f(x)_{\max}=-1$；
② 当 $m>0$ 时，$f(x)$ 在 $[2,3]$ 上单调递增，$f(x)_{\max}=f(3)=6m-1$；
③ 当 $m<0$ 时，$f(x)$ 在 $[2,3]$ 上单调递减，$f(x)_{\max}=f(2)=2m-1$。
① $m=0$：$f(x)_{\max}=-1<0$
② $m>0$：$f(x)_{\max}=f(3)=6m-1<0$
③ $m<0$：$f(x)_{\max}=f(2)=2m-1<0$
① 当 $m=0$ 时，$-1<0$，成立；
② 由 $\begin{cases}m>0,\\ 6m-1<0,\end{cases}$ 得 $0<m<\dfrac16$；
③ 由 $\begin{cases}m<0,\\ 2m-1<0,\end{cases}$ 得 $m<0$。
综上，取并集得 $m<\dfrac16$。
$m=\frac16$：排除
$x=3$ 时左边 $=\frac96-\frac36-1=0$，不满足 $<0$。
边界排除
$f(3)=0$，不满足 $<0$。
检验：当 $m=\dfrac16$ 时，原不等式为 $\dfrac16x^2-\dfrac16x-1<0$，取 $x=3$，左边 $=0$，不成立，舍去。
综上，实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac16\right)$。
本题已完成
分离参数法先确认 $x^2-x>0$，除以正数不变向，得 $m<h(x)_{\min}=\frac16$；区间最值法要按 $m$ 的符号分三种情况，取并集。$m=\frac16$ 时 $x=3$ 处取等，原题是 $<$，排除。
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