原题
已知函数 $y=mx^2-mx-6+m$，若对于 $1\le m\le3$，$y<0$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围。
题意整理
根据原题转写- 范围
- $m\in[1,3],\quad x\in\mathbb R$
- 条件
- $\forall m\in[1,3],$ $mx^2-mx-6+m<0$
- 目标
- $\{x\in\mathbb R\mid\text{上述条件成立}\}$
已知函数 $y=mx^2-mx-6+m$，若对于 $1\le m\le3$，$y<0$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围。
先看恒成立针对哪个变量，再把另一个字母固定
恒成立针对的变量：$m$
对任意 $m\in[1,3]$ 都要成立，$x$ 是待求取值范围的变量。
$y$ 关于 $m$ 是：一次式
把 $x$ 当作常数，$m$ 只有一次。
两个前提都满足，把 $m$ 作为主元
由题意，对任意 $m\in[1,3]$，$mx^2-mx-6+m<0$ 恒成立。
找出所有含 $m$ 的项，提出 $m$
把 $y$ 看成关于 $m$ 的函数，记 $f(m)=(x^2-x+1)m-6$，$m\in[1,3]$，
则原问题等价于：$f(m)<0$ 对任意 $m\in[1,3]$ 恒成立。
$\therefore$ 原不等式恒成立 $\iff$ $f(m)$ 在 $[1,3]$ 上的最大值小于 $0$。
$f(m)=(x^2-x+1)m-6$，$m\in[1,3]$
图像是一条线段，斜率的符号决定哪一端更高
斜率 $x^2-x+1$ 恒为正，不论 $x$ 取何值，右端 $m=3$ 处最高
$\because\ x^2-x+1=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0$，
$\therefore\ f(m)$ 在 $[1,3]$ 上单调递增，$f(m)_{\max}=f(3)$ $=3(x^2-x+1)-6=3x^2-3x-3$。
方程 $x^2-x-1=0$ 的两根为 $x=\frac{1\pm\sqrt5}2$
$x^2-x-1$ 开口向上，两根之间小于 $0$。
由 $3x^2-3x-3<0$，得 $x^2-x-1<0$，
方程 $x^2-x-1=0$ 的两根为 $x=\dfrac{1\pm\sqrt5}2$，
$\therefore\ \dfrac{1-\sqrt5}2<x<\dfrac{1+\sqrt5}2$。
要检查的边界：$x=\frac{1\pm\sqrt5}2$
$x=\frac{1-\sqrt5}2$：排除
原不等式为 $2m-6<0$，$m=3$ 时左边 $=0$。
$x=\frac{1+\sqrt5}2$：排除
原不等式为 $2m-6<0$，$m=3$ 时左边 $=0$。
两个边界都排除
$f(3)=0$，不满足 $<0$。
检验：当 $x=\dfrac{1-\sqrt5}2$ 或 $x=\dfrac{1+\sqrt5}2$ 时，$x^2-x=1$，原不等式为 $2m-6<0$，取 $m=3$，左边 $=0$，不成立，舍去。
综上，实数 $x$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{1-\sqrt5}2,\dfrac{1+\sqrt5}2\right)$。
本题已完成
恒成立针对任意 $m\in[1,3]$，固定 $x$，把 $m$ 当作自变量，$f(m)=(x^2-x+1)m-6$ 是一次函数；斜率恒正，只需 $f(3)<0$。两个边界处 $f(3)=0$，原题是 $<$，都排除。
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