原题
已知 $y=ax^2-(a+1)x+1$，若对任意 $-1\le a\le1$，$y>0$ 恒成立，求 $x$ 的取值范围。
题意整理
根据原题转写- 范围
- $a\in[-1,1],\quad x\in\mathbb R$
- 条件
- $\forall a\in[-1,1],$ $ax^2-(a+1)x+1>0$
- 目标
- $\{x\in\mathbb R\mid\text{上述条件成立}\}$
已知 $y=ax^2-(a+1)x+1$，若对任意 $-1\le a\le1$，$y>0$ 恒成立，求 $x$ 的取值范围。
先看恒成立针对哪个变量，再把另一个字母固定
恒成立针对的变量：$a$
对任意 $a\in[-1,1]$ 都要成立，$x$ 是待求取值范围的变量。
$y$ 关于 $a$ 是：一次形式，可退化为常数
把 $x$ 当作常数；$x=0$ 或 $1$ 时，$a$ 的系数为零，分别得到常数 $1$ 或 $0$。
两个前提都满足，把 $a$ 作为主元
由题意，对任意 $a\in[-1,1]$，$ax^2-(a+1)x+1>0$ 恒成立。
先去括号，再找出所有含 $a$ 的项，提出 $a$
$y=ax^2-ax-x+1$，把 $y$ 看成关于 $a$ 的函数，记 $f(a)=(x^2-x)a-x+1$，$a\in[-1,1]$，
则原问题等价于：$f(a)>0$ 对任意 $a\in[-1,1]$ 恒成立。
$\therefore$ 原不等式恒成立 $\iff$ $f(a)$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值大于 $0$。
$f(a)=(x^2-x)a-x+1$，$a\in[-1,1]$
图像是一条线段，斜率的符号决定哪一端更低；斜率为零时各点等高
斜率 $x^2-x$ 符号不定，最低点可能在任一端：两端都要大于 $0$
$\because\ x^2-x=x(x-1)$ 的符号随 $x$ 变化，$f(a)$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值是 $f(-1)$、$f(1)$ 中较小的一个，
$\therefore\ f(a)>0$ 恒成立 $\iff$ $\begin{cases}f(-1)=1-x^2>0,\\f(1)=(x-1)^2>0.\end{cases}$
$1-x^2>0$，$(x-1)^2>0$
两个条件要同时成立
两个条件同时成立，取交集：$-1<x<1$
由 $1-x^2>0$，得 $-1<x<1$；由 $(x-1)^2>0$，得 $x\ne1$，
$\therefore\ -1<x<1$。
要检查的边界：$x=-1$ 和 $x=1$
$x=-1$：排除
原不等式为 $2a+2>0$，$a=-1$ 时左边 $=0$。
$x=1$：排除
原不等式为 $0>0$，对所有 $a$ 都不成立。
两个边界都排除
检验：当 $x=-1$ 时，原不等式为 $2a+2>0$，取 $a=-1$，左边 $=0$，不成立，舍去；
当 $x=1$ 时，原不等式为 $0>0$，不成立，舍去。
综上，实数 $x$ 的取值范围是 $(-1,1)$。
本题已完成
恒成立针对任意 $a\in[-1,1]$，固定 $x$，把 $a$ 当作自变量，$f(a)=(x^2-x)a-x+1$ 是一次或常数函数；斜率 $x^2-x$ 符号不定，最低点可能在任一端，只需 $f(-1)>0$ 且 $f(1)>0$。两个边界处原不等式都不成立，都排除。
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