函数的单调性 · 数学说

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定义

在区间 $I$ 中任取 $x_1<x_2$ ，若恒有 $f(x_1)<f(x_2)$ ，则严格递增；若恒有 $f(x_1)>f(x_2)$ ，则严格递减。

成立条件：变量均为实数。

性质

$\frac1x$ 在 $(-\infty,0)$ 与 $(0,+\infty)$ 上分别递减，但不能合称在整个定义域上递减： $-1<1$ ，而 $\frac1{-1}<\frac11$ 。

成立条件：变量均为实数。

性质

$f$ 、 $g$ 在区间上都递增 $\Rightarrow$ $f+g$ 递增。

$f$ 递增 $\Rightarrow$ $-f$ 递减； $c>0$ 时 $cf$ 递增。

$f$ 递增，且恒正或恒负 $\Rightarrow$ $\frac1f$ 递减：同号的两个数取倒数，大小顺序颠倒。

$u=g(x)$ 递增， $y=F(u)$ 递减 $\Rightarrow$ $y=F(g(x))$ 递减（同增异减）。

成立条件：各函数在所讨论的同一区间上有定义；复合时 $g(x)$ 的取值落在 $F$ 的单调区间内。

$x$ 在 $[2,3]$ 上移动， $u=x^2-x$ 跟着增大且恒正， $h=\frac1u$ 跟着减小。

例： $h(x)=\frac1{x^2-x}$ ， $x\in[2,3]$ 。拖动 $x$ ，看 $u=x^2-x$ 和 $h=\frac1u$ 怎样跟着走。

$x$ 从 $2$ 走到 $3$ ， $u$ 从 $2$ 增大到 $6$ ，都是正数， $h$ 从 $\frac12$ 减小到 $\frac16$ ： $h(x)$ 在 $[2,3]$ 上递减，最小值 $h(3)=\frac16$ ，最大值 $h(2)=\frac12$ 。

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性质

严格递增函数在闭区间 $[p,q]$ 上最小值为 $f(p)$ ，最大值为 $f(q)$ ；递减时相反。要把两端之间所有值都纳入值域，还需有连续性等依据。

成立条件：本章的一次式、二次式与不跨零的 $x+\frac{k}{x}$ 在相应区间连续。

错误做法

$x+\frac4x$ 在 $(1,2)$ 上递减，于是说最小值是 $2+\frac42=4$ 。

$x=2$ 不在区间内， $4$ 取不到。单调函数在开区间上没有最大值、最小值，只有取值范围的上下端。

正确做法

写取值范围： $x+\frac4x$ 在 $(1,2)$ 上的取值范围是 $(4,5)$ ，没有最大值和最小值。

求 $x+\frac4x$ 在 $(1,2)$ 上的取值范围。

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内容出处：人教 A 版必修第一册 3.2