节点目录

本批公共图谱完整覆盖第二章，并纳入两个专题和相关补充练习；第一、三章目前只登记被第二章引用的知识点。同一数学对象跨节、跨章共享。

本章尚未完整录入；目前只登记 3.2 中被第二章引用的函数单调性与最值。

由 2.1、2.2、2.3 三节组织知识、技能、题型与方法；本章范围由所属节汇总。

本章尚未完整录入；目前只登记 1.5 中被第二章引用的全称量词与存在量词。

区分“对所有”与“存在”两类命题，为恒成立与存在成立问题提供逻辑依据。

从实数大小关系出发，学习等式与不等式的合法运算，并用作差比较代数式。

以基本不等式的公式、定和定积应用为核心，通过专题拓展变形技能与和积换元法。

把二次函数的图像、方程的实根与不等式解集联系起来，并拓展含参、量词与分式任务。

用单调性描述函数的增减，用最大值与最小值描述函数的取值范围。

两个正数的算术平均数不小于几何平均数；用于最值时还需确认定值与取等可达。

等式可经合法运算推导新等式；逆向使用时要检查非零、定义域等条件。

在指定区间上用自变量与函数值的次序描述增减，必须同时说明适用区间。

值域是所有实际函数值的集合；最大值、最小值必须属于这个集合。

不等式的方向随运算条件变化，同乘或同除负数必须改变方向。

一次函数由斜率控制增减；斜率为零时按常函数处理。

用判别式判断实根情况，用求根公式或因式分解确定根，并通过根与系数关系连接表达式。

二次函数的表达式、抛物线和零点共同描述函数在各处的取值。

二次不等式的解集由二次式的符号决定；图像在横轴上方或下方对应不同解集。

先明确“对谁、在哪个范围内”，再区分全部满足与至少一次满足。

用不等式表达大小关系，把两个实数的比较转化为它们的差与零的比较。

k 取正数时，对勾函数在 y 轴两侧各有一个转折点；研究区间时先去掉 x=0。

任何实数的平方非负，等于零恰好要求原数为零；由此可以比较二次表达式。

把含 x² 和 x 的式子改写成「一个平方加一个常数」，从而看出最值、正负和顶点。

用条件里的等式把一个字母写成另一个字母的式子，代进去，让题目只剩一个变量。

把分子次数不低于分母的分式，拆成「整式 + 分子更简单的分式」，方便看范围或凑基本不等式。

借助像 x + y = 1 这样的条件，给某些项乘上「等于 1 的式子」，让各项次数一样，从而出现积为定值的比值项。

通过拆项、加一项再减掉、调整系数，把式子凑成「两项的积（或和）是定值」，好用基本不等式。

把一个碍事或反复出现的整体设成新字母，条件、要求的式子和取值范围都跟着换成新字母。

两个字母互换位置式子不变时，设 s = u + v、p = uv，改用和与积来写，再补上 s² ≥ 4p 保证 u、v 是实数。

看开口方向和对称轴落在区间的哪一边，找出最大值、最小值在哪里取，再检查端点取不取得到。

两项都是正数时，写出 U + V ≥ 2√(UV)，并记下等号在 U = V 时成立。

用两边同加减、同乘除等办法整理等式，并分清每一步能不能倒推回去。

倒着用乘法公式、十字相乘，或者先求出二次式的根，把多项式写成几个因式相乘。

对不等式两边加减、乘除或取倒数时，先看乘除的数是正是负，再决定不等号要不要改方向。

看 y = ax + b 的斜率 a 是正、负还是 0，把区间端点代进去，读出值域和最大、最小值。

由开口方向与零点判断二次式正、零、负的取值范围，再判断指定关系对所有实数成立，还是至少有一个实数解。

把「对所有 x 都成立」「存在 x 使之成立」翻译成函数的值域或最大值、最小值要满足的条件。

把「分式和 0 比大小」变成「分子乘分母和 0 比大小」，同时记住分母不能为 0。

以 ±√k 为分界看对勾函数的增减，比较端点和转折点的函数值，得到它在区间上的值域和最值。

已知二次不等式的解集，从端点读出方程的两个根，从解集在两根之间还是之外读出开口方向，再列出系数要满足的式子。

把式子展开、合并同类项或约分，变成更简单、值不变的样子，方便下一步比较或求解。

把方程整理成 ax² + bx + c = 0，先用判别式看有几个实根，再用因式分解或求根公式求出它们。

把要求最值的式子凑成两个正数相加（积是定值）或相乘（和是定值），用基本不等式求出界，再验证等号取得到。

含参数的不等式要恒成立或有解时，先弄清需要式子的最小值还是最大值，再用基本不等式求出这个最值，最后和参数比较定出范围。

要比较两个式子谁大，就用一个减另一个，看差是正、是负还是 0。

量词变量取全体实数时，用开口方向和判别式判断二次不等式恒成立还是至少有一个解；二次项系数可能为 0 时，先处理一次式或常数。

x 只在某个区间上取值时，把「恒成立」「有解」变成函数在这个区间上的最大值或最小值和参数比较，求出参数范围。

解含参数的一元二次不等式时，只在 x² 的系数是否为 0、有没有根、两根谁大会发生变化的地方分情况，每种情况分别写出解集。

把目标整理成一个变量的二次函数，确定变量范围，再根据顶点和区间的位置求最值，最后回代检查。

把分式不等式移项通分成「一个分式和 0 比」，再变成整式不等式来解，最后去掉让分母为 0 的 x。

把参数单独移到不等号一边，另一边是不含参数的函数，再用这个函数的最大值或最小值求出参数范围。

已知二次不等式的解集，倒过来求式子里的参数，最后代回去检查解集是否完全一样。

把要求最值的式子配方成「常数加减一个平方」，看平方在允许的范围里能不能等于 0，从而得到最大值或最小值。

选取两个量，用它们的和与积改写条件和目标；根据所得关系，求界或解不等式，再检查能否还原为原变量。

题目让哪个字母在范围里变化，就把它当主角，把式子整理成关于它的一次函数，看区间两端求出另一个字母的范围。

先求出二次式的根，再根据开口方向看图像哪一段在 x 轴上方、哪一段在下方，写出不等式的解集。

不等式要对所有取值（或某个取值）成立，求参数范围、最小值或最大值；参数另一边式子的最值用基本不等式求，再看最值取不取得到。

已知 x、y 满足一个二次方程，求 x+y 这类一次式能取到的全部值。

给两个代数式，判断哪个大，或者在什么条件下哪个大。

二次不等式的系数里有参数，按参数的不同情况分别写出 x 的解集。

系数都是具体的数，解一元二次不等式，写出 x 的全部解。

在给定范围内，二次不等式要对所有取值都成立（或至少一个取值成立），求参数的范围、最小值或最大值。

解分母含 x 的不等式，写出全部解，别忘了分母不能为 0。

已知二次不等式的解集，反过来求式子里的系数或参数。

两个正数积是定值求和的最小值，或和是定值求积的最大值，以及能变形成这样的最值题。

要在一个区间上求函数的最值或值域时，先看它是二次函数、一次函数还是对勾函数，再选对应的求法。

遇到含参数的一元二次不等式，先看清「哪个字母在什么范围里变化」，再挑能用的方法，常常不止一种方法可用。