函数的值域与最值

定义

值域 #

$f(D)=\{f(x)\mid x\in D\}$，保留原定义域和所有限制。

成立条件：$D\ne\varnothing$。

性质

最大值与最小值 #

若某个实际函数值 $M$ 不小于其余函数值，$M$ 是最大值；最小值类似。仅有上界或下界不能保证最值存在。

成立条件：极值点的局部概念不等同于这里的全局最值。

性质

边界可达性 #

$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上值域为 $(0,1)$，边界 $0,1$ 都取不到；在 $[0,1]$ 上则分别是最小值和最大值。

成立条件：变量均为实数。

用到这一条的技能求二次函数在区间上的最值与值域必修一·2章求一次函数及常函数在区间上的最值与值域必修一·2章求对勾函数在区间上的最值与值域必修一·2章

性质

量词与值域条件 #

$\forall x\in D,f(x)\le c$ 等价于 $f(D)\subseteq(-\infty,c]$；$\exists x\in D,f(x)\le c$ 等价于 $f(D)\cap(-\infty,c]\ne\varnothing$。其他不等号同理。

成立条件：$D\ne\varnothing$，$c$ 与量词变量无关。

用到这一条的技能将恒成立与存在成立转化为值域或最值条件必修一·2章

性质

最值存在时的转换 #

对应最值存在时：恒 $f\le c$ 用 $\max f\le c$；存在 $f\le c$ 用 $\min f\le c$；恒 $f\ge c$ 用 $\min f\ge c$；存在 $f\ge c$ 用 $\max f\ge c$。严格号同样转换，但不能把未取到的边界直接当作最值。

成立条件：可行集合非空，且所用的对应全局最值存在。

用到这一条的技能将恒成立与存在成立转化为值域或最值条件必修一·2章