分式分离

什么时候用

看到什么想到它: 要求分式的范围、最值，或者想凑出积为定值的两项，看到分子次数不低于分母，例如 $\frac{2x+3}{x+1}$ 、 $\frac{x^2+3x+6}{x+1}$ 。
做完得到什么: 「整式 + 余下的分式」的样子，例如 $\frac{2x+3}{x+1}=2+\frac{1}{x+1}$ 。变量只剩在一个地方（或者变成积为定值的两项），范围和最值就容易看了。
要注意: 分母不为 $0$ 的限制拆完仍要保留；拆完后余下分式的分子次数要比分母低，否则还没拆干净。分子次数本来就比分母低时不用硬拆，求最值可以先取倒数再拆。

用分母把分子凑出来 #
目标是把分子写成「分母的倍数 + 余数」。分母是 $x+1$ ，就看分子里能凑出几个 $x+1$ ： $2x+3=2(x+1)+1$ 。
二次的也一样： $x^2+3x+6=(x+1)^2+(x+1)+4$ 。凑不出来时用多项式除法。
分子次数比分母低时（如 $\frac{2x}{x^2+4}$ ），求最值可以先取倒数，对倒数来拆；两者都为正时，倒数最小，原式就最大。
按分母拆项：分子次数高直接拆，次数低先取倒数
两例分母都为正： $\frac{x^2+3x+6}{x+1}$ （ $x>-1$ ）按 $x+1$ 拆项； $y=\frac{2x}{x^2+4}$ （ $x>0$ ）分子次数低，先对 $\frac1y$ 拆项。

分子次数高 $\frac{x^{2} + 3 x + 6}{x + 1}$ = $x + 1$ + $\frac{4}{x + 1}$ + $1$

分子次数低 $\frac{1}{y}$ = $\frac{x^{2} + 4}{2 x}$ = $\frac{x}{2}$ + $\frac{2}{x}$

拆出的两项 · 为定值

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分子拆开，各除以分母 #
$\frac{2x+3}{x+1}=\frac{2(x+1)+1}{x+1}=2+\frac{1}{x+1}$ ，这里仍要 $x\ne-1$ 。现在 $x$ 只出现在 $\frac{1}{x+1}$ 里，范围一眼能看出来。
$\frac{x^2+3x+6}{x+1}=(x+1)+\frac{4}{x+1}+1$ ，其中 $(x+1)\cdot\frac{4}{x+1}=4$ 是定值，可以接着用基本不等式。
通分回去检查 #
把结果通分，看能不能还原成原式： $2+\frac{1}{x+1}=\frac{2(x+1)+1}{x+1}=\frac{2x+3}{x+1}$ 。

改写 $\frac{2x+3}{x+1}$ 。

本页说明例

$x>0$ ，求 $y=\frac{2x}{x^2+4}$ 的最大值。

$y>0$ ，取倒数后分离： $\frac1y=\frac{x^2+4}{2x}=\frac x2+\frac2x$ ，两项为正、积为 $1$ ，故 $\frac1y\ge2$ 。
取等要 $\frac x2=\frac2x$ ，由 $x>0$ 得 $x=2$ 。倒数最小时原式最大，所以 $y\le\frac12$ ，最大值为 $\frac12$ 。

本页说明例

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章