基本不等式法

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

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   把式子凑成两项

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   先把要求的式子改成两个正数相加或相乘的样子，并让它们的积或和不含变量。例如 $x+\frac{1}{x-1}$ 中 $x$ 与 $\frac{1}{x-1}$ 的积不是定值，把 $x$ 拆成 $(x-1)+1$：原式 $=(x-1)+\frac{1}{x-1}+1$，前两项的积是 $1$。

   下面几种变形按题目情况选用，不需要每种都做。

   看题目情况选用

   • 配凑定和或定积结构需要拆项、加一项再减掉或配系数时例$0<x<2$ 求 $x(4-2x)$ 的最大值：配上系数写成 $\frac12\cdot2x(4-2x)$，$2x$ 与 $4-2x$ 的和 $4$ 是定值。
   • 换元有一整块式子反复出现、可以设成新字母时例求 $\frac1{2m+1}+\frac1{n+1}$：令 $a=2m+1$，$b=n+1$，条件 $2m+n=6$ 变成 $a+b=8$。
   • 消元题目给了等式条件、能用它消掉一个变量时例$x+2y+xy-7=0$，求 $x+y$：由条件得 $x=\frac{7-2y}{1+y}$，代入后只剩 $y$。
   • 分式分离式子是分子次数不低于分母的分式时例$x>-1$ 时 $\frac{x^2+3x+6}{x+1}$：分子除以分母，得 $(x+1)+\frac4{x+1}+1$。
   • 配齐次式有 $x+y=1$ 这类条件、能用它乘「1」凑出定值时例$x+5y=1$，求 $\frac5x+\frac4y$：乘上 $x+5y$，得 $25+\frac{25y}x+\frac{4x}y$。
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   检查两项为正、积或和是定值

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   写清两项 $U$、$V$ 分别是什么，再检查：两项都大于 $0$ 吗？求最小值时积 $UV$、求最大值时和 $U+V$ 是不含变量的数吗？例子中 $x>1$，所以 $x-1>0$，$\frac{1}{x-1}>0$，积 $(x-1)\cdot\frac{1}{x-1}=1$。

   如果要求的是 $-(U+V)$ 或 $\frac{1}{U+V}$ 这样带负号或倒数的式子，先记下来：$U+V$ 的最小值对应它们的最大值。

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   用基本不等式写出界

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   两个正数的和不小于它们积的算术平方根的两倍：$U+V\ge2\sqrt{UV}$；和是定值时用 $UV\le\left(\frac{U+V}{2}\right)^2$。等号都在 $U=V$ 时成立。

   例子中 $(x-1)+\frac{1}{x-1}\ge2\sqrt{1}=2$，等号在 $x-1=\frac{1}{x-1}$ 时成立。

   这一步用到

   • 应用基本不等式

   方框圆圈：把两个完整正项代入基本不等式

   公式里的两项不必是单个字母：正变量、正常数、完整表达式、函数值（如 $2^a$），只要整体为正都可以放进方框、圆圈；积定则和有最小值，和定则积有最大值。

   • 正变量$x>0$
   • 正常数$3>0$
   • 完整表达式$x+1>0$
   • 函数值$2^a>0$

   都可以整体放进 和

   +≥2·

   • 定积 · 为定值→和有最小值
   • 定和 + 为定值→积有最大值

   取等 ⇔当且仅当 =

   图解交互正在加载；正文与题例可直接阅读。

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   解出取等的值，看它在不在范围里

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   解等号条件 $U=V$；题目还有等式条件的，和它联立。例子中 $x-1=\frac{1}{x-1}$ 得 $(x-1)^2=1$，$x=2$ 或 $x=0$，只有 $x=2$ 满足 $x>1$。

   解出的值不在范围里时，这个界取不到，不能当最值，要改用别的办法（例如看函数的单调性）。

   这一步用到

   • 等式变形与推导
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   把常数和系数加回去

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   刚才只处理了凑出来的两项，最后把剩下的常数加回、提出的系数乘回，换过元的换回原变量。例子中原式 $=\left[(x-1)+\frac{1}{x-1}\right]+1\ge2+1=3$，$x=2$ 时取到，最小值是 $3$。

   要求的式子带负号或是倒数时，最值方向要反过来：例如 $U+V$ 的最小值是 $2$，则 $-(U+V)$ 的最大值是 $-2$，$\frac{1}{U+V}$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$。

   这一步用到

   • 不等式变形与推导式子带负号或是倒数、要把最值方向反过来时

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

例题