配齐次式

操作步骤

1. 数一数每项的次数 #

   每项的次数是各字母指数之和，分母里的字母算负次数：$x^2$、$xy$ 都是 $2$ 次，$\frac5x$ 是 $-1$ 次，$\frac{y}{x}$ 是 $0$ 次。

   $\frac5x+\frac4y$ 两项都是 $-1$ 次，条件里的 $x+5y$ 是 $1$ 次，乘一次就都变成 $0$ 次。

   数次数：x、y 同时放大，零次式的值不变

   分母里的字母算负次数。取 $x=2k$、$y=k$，拖动 $k$：一次式跟着变大，负一次式跟着变小，零次式 $\frac{25y}x+\frac{4x}y$ 始终不变，它只和比值 $\frac yx$ 有关。

   • $5x^{-1}$$-1$ 次
   • $\frac ab=ab^{-1}$$0$ 次
   • $4xy$$2$ 次
   • $\frac1{\sqrt x}=x^{-\frac12}$$-\frac12$ 次

   负一次 × 一次：每个乘积都是零次

   ×	$x$1 次	$5y$1 次
   $\frac5x$−1 次	$5$0 次	$\frac{25y}x$0 次
   $\frac4y$−1 次	$\frac{4x}y$0 次	$20$0 次

   取 $x=2k$、$y=k$（比值 $\frac yx$ 始终是 $\frac12$），拖动 $k$，看三个式子怎样变：

   $x+5y$ 一次

   $\frac5x+\frac4y$ 负一次

   $\frac{25y}x+\frac{4x}y$ 零次

   x、y 同时放大 k 倍：一次式变成 k 倍，负一次式变成 1k，零次式不变。

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2. 乘上等于 1 的条件式 #

   因为 $x+5y=1$，乘上它式子的值不变：$\left(\frac5x+\frac4y\right)(x+5y)=5+\frac{25y}{x}+\frac{4x}{y}+20=25+\frac{25y}{x}+\frac{4x}{y}$。

   也可以只给某一项补次数：$x+y=1$ 时 $y=y(x+y)$，于是 $x^2+y=x^2+xy+y^2$，每项都是 $2$ 次。

   配次数：乘入值为 1 的条件式

   例：$x,y>0$，$x+5y=1$，求 $\frac5x+\frac4y$ 的最小值。目标 $-1$ 次，乘入 $1$ 次的条件式后只剩比值。

   目标m 次×条件式 = 1n 次→0 次式m + n = 0

   例$(\frac{5}{x}+\frac{4}{y})(x+5y)$=$25$+$\frac{25y}{x}$+$\frac{4x}{y}$

   只剩比值： · = 100 为定值

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3. 说清乘的为什么等于 1 #

   每乘一次，都要写明乘的式子为什么等于 $1$。新式子只在 $x+5y=1$ 时等于原式，所以后面求出取等时的 $x,y$，要代回这个条件检查。

易错

说明与题例