对勾函数

定义

表达式与范围 #

$f(x)=x+\frac{k}{x}$，当前讨论 $k>0$、$x\ne0$。函数为奇函数。

成立条件：其他 $k$ 的性质不直接沿用本页结论。

性质

四个单调区间 #

在 $(-\infty,-\sqrt{k}]$、$[\sqrt{k},+\infty)$ 上递增；在 $[-\sqrt{k},0)$、$(0,\sqrt{k}]$ 上递减。

成立条件：本页性质以 $k>0,x\ne0$ 为前提。

用到这一条的技能求对勾函数在区间上的最值与值域

性质

最值与值域 #

正半轴最小值为 $2\sqrt{k}$，在 $x=\sqrt{k}$ 取得；负半轴最大值为 $-2\sqrt{k}$，在 $x=-\sqrt{k}$ 取得。全定义域值域为 $(-\infty,-2\sqrt{k}]\cup[2\sqrt{k},+\infty)$，没有全局最大值或最小值。

成立条件：本页性质以 $k>0,x\ne0$ 为前提。

用到这一条的技能求对勾函数在区间上的最值与值域

性质

用作差说明单调区间 #

上面四个单调区间可以这样得到：在同一个区间里任取两个数 $u<v$，看 $f(v)-f(u)$ 是正是负。

先化简：$f(v)-f(u)=(v-u)+\left(\frac{k}{v}-\frac{k}{u}\right)=(v-u)-\frac{k(v-u)}{uv}=(v-u)\left(1-\frac{k}{uv}\right)$。

因为 $u<v$，$v-u>0$，所以正负只看 $1-\frac{k}{uv}$。当 $u,v$ 在 $0$ 的同一侧时 $uv>0$：$uv>k$ 则差为正，$f(v)>f(u)$，函数递增；$uv<k$ 则差为负，函数递减。

在 $[\sqrt{k},+\infty)$ 上，$u\ge\sqrt{k}$ 且 $v>\sqrt{k}$，所以 $uv>k$，递增；在 $(0,\sqrt{k}]$ 上，$u<v\le\sqrt{k}$，所以 $uv<k$，递减。负半轴同理：两数都不超过 $-\sqrt{k}$ 时 $uv>k$，递增；两数都在 $-\sqrt{k}$ 与 $0$ 之间时 $uv<k$，递减。

成立条件：$k>0$；$u,v$ 取在 $0$ 的同一侧。一正一负时 $uv<0$，上面的判断不能用。