求对勾函数在区间上的最值与值域

操作步骤

1. 去掉 0，找出转折点 #

   $x=0$ 不能取，区间跨过 $0$ 就拆成正、负两段。转折点是 $x=\pm\sqrt{k}$：正半轴上 $(0,\sqrt{k}]$ 递减、$[\sqrt{k},+\infty)$ 递增；负半轴上 $(-\infty,-\sqrt{k}]$ 递增、$[-\sqrt{k},0)$ 递减。

   例如 $x+\frac{4}{x}$ 的转折点是 $x=\pm2$，其中 $x=2$ 落在 $[1,3]$ 里。

2. 算转折点和端点的值，比大小 #

   转折点 $\sqrt{k}$ 在区间里时，最小值是 $x=\sqrt{k}$ 处的 $2\sqrt{k}$，最大值在两个端点中较大的那个。例子中 $x=2$ 时值为 $4$；$x=1$ 时为 $5$，$x=3$ 时为 $\frac{13}{3}$，所以最小值 $4$，最大值 $5$。

   转折点不在区间里时，函数在区间上只增或只减，直接用端点。开区间的端点值取不到。

   拖动区间：最低点在不在区间里，最大值在哪一端

   默认是 $x+\frac4x$ 在 $[1,3]$ 上。左右拖动区间、切换 $k$：最低点 $x=\sqrt k$ 落在区间里时最小值是 $2\sqrt k$，否则最小值在端点；最大值总在端点，看两端点之积比 $k$ 大还是小。$y$ 轴上的粗线就是值域。

   k = 1k = 2k = 4

   区间

   最小值

   最大值

   值域最小值到最大值之间的数都取得到，所以值域是闭区间。

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3. 各段合起来，中间不要补上 #

   区间拆成两段时，各段值域取并集。例如 $x+\frac{4}{x}$ 在 $[-3,-1]\cup[1,3]$ 上：负半段值域是 $[-5,-4]$，正半段是 $[4,5]$，合起来是 $[-5,-4]\cup[4,5]$，中间的 $(-4,4)$ 取不到。

   区间跨过 0：两段分别求值域，再取并集

   函数取 $x+\frac4x$。切换三个区间，看负半段、正半段各自的值域落在 $y$ 轴的哪一截；两截之间的虚线部分取不到。

   $[-3,-1]\cup[1,3]$$[-3,3]$，$x\ne0$$[-1,2]$，$x\ne0$

   负半段$[-5,-4]$$x=-2$ 处最高为 $-4$；两端 $f(-3)=-\frac{13}3$，$f(-1)=-5$，较低的是 $-5$。

   正半段$[4,5]$$x=2$ 处最低为 $4$；两端 $f(1)=5$，$f(3)=\frac{13}3$，较高的是 $5$。

   合起来$[-5,-4]\cup[4,5]$中间的 $(-4,4)$ 一个值也取不到，不能写成 $[-5,5]$。

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说明与题例