一次函数 · 数学说

知识条目

定义

$f(x)=ax+b$ ， $a\ne0$ ，图像为直线，斜率是 $a$ ，纵截距是 $b$ 。

成立条件：变量均为实数。

性质

$a>0$ 时递增； $a<0$ 时递减。 $a=0$ 时为常函数 $f(x)=b$ ，不再是一次函数。

成立条件：变量均为实数。

性质

非零斜率的一次函数把区间端点对应到值域边界，端点包含情况随对应点保留；常函数在任意非空定义域上值域为 $\{b\}$ 。

成立条件：变量均为实数。

$f(x)=3$ ， $x\in(0,1)$ ，是否有最大值？

本页说明例

图解同时展示一次函数与斜率为零的常函数情形。

$f(t)=kt+b$ ： $k>0$ 递增， $k<0$ 递减， $k=0$ 是常数。所以在闭区间上，最大值、最小值都在端点；要整段大于 $0$ ，只要两个端点都大于 $0$ 。

斜率 k截距 b

单调

最小值

最大值

在 [−1, 1] 上恒 > 0？

$f(a)=(x^2-x)a-x+1$ 的斜率 $x^2-x$ 可正、可负、可为 $0$ ，但不论哪种，最小值都在某个端点。所以 $f(a)>0$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立 $\iff f(-1)>0$ 且 $f(1)>0$ 。

把参数看成自变量，见更换主元法。

$f(m)=(x^2-x+1)m+\cdots$ 的斜率 $x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0$ ， $f(m)$ 递增，在 $[1,3]$ 上的最大值是 $f(3)$ 、最小值是 $f(1)$ 。

$f(t)>0$ 在 $(-1,1)$ 上恒成立 $\iff f(-1)\ge0$ ， $f(1)\ge0$ ，且两者不同时为 $0$ （同时为 $0$ 时 $f(t)$ 恒等于 $0$ ）。

图解交互正在加载；正文与题例可直接阅读。

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章